1. Dois objetos A e B se chocam. A massa de A é de 2,0 \mathrm{~kg} e a de B, 3,0 \mathrm{~kg}. Suas velocidades antes da colisão eram respectivamente \vec{v}_{i A}=15 \hat{\imath}+30 \hat{\jmath} e \vec{v}_{i B}=-10 \hat{\imath}+5 \hat{\jmath}. Após o choque, \vec{v}_{f A}=-6,0 \hat{\imath}+30 \hat{\jmath}; todas as velocidades em \mathrm{m} / \mathrm{s}. (a) Qual a velocidade final de B ? (b) Quanta energia cinética foi ganha ou perdida na colisão?
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Passo 1

O enunciado dá os dois corpos e suas massas e velocidades antes e depois do choque. Perguntas: (a) qual a velocidade final de B? (b) quanta energia cinética foi ganha ou perdida na colisão? Dados fornecidos (todas as velocidades em \mathrm{m/s}):
m_A=2,0\\ \mathrm{kg},\qquad m_B=3,0\\ \mathrm{kg},
\vec{v}_{iA}=15\hat{\imath}+30\hat{\jmath},
\vec{v}_{iB}=-10\hat{\imath}+5\hat{\jmath},
\vec{v}_{fA}=-6,0\hat{\imath}+30\hat{\jmath}.
O que se pede:
  1. \vec{v}_{fB} (vetor velocidade final de B); 2) variação da energia cinética \Delta K=K_f-K_i (dizer se foi ganho ou perdido).

Passo 2

Princípio que usamos: conservação da quantidade de movimento (momento linear) do sistema isolado. Isso significa que a soma dos momentos antes do choque é igual à soma depois:
m_A\vec{v}_{iA}+m_B\vec{v}_{iB}=m_A\vec{v}_{fA}+m_B\vec{v}_{fB}.
Desse vetor, isolamos \vec{v}_{fB}:
\vec{v}_{fB}=\frac{m_A\vec{v}_{iA}+m_B\vec{v}_{iB}-m_A\vec{v}_{fA}}{m_B}.
É uma equação vetorial; podemos aplicar componente a componente (componente x e componente y).

Passo 3

Calculo das componentes numericamente. Primeiro calcule cada termo vetorial:
m_A\vec{v}_{iA}=2,0\bigl(15\hat{\imath}+30\hat{\jmath}\bigr)=(30\hat{\imath}+60\hat{\jmath}),
m_B\vec{v}_{iB}=3,0\bigl(-10\hat{\imath}+5\hat{\jmath}\bigr)=(-30\hat{\imath}+15\hat{\jmath}),
m_A\vec{v}_{fA}=2,0\bigl(-6,0\hat{\imath}+30\hat{\jmath}\bigr)=(-12\hat{\imath}+60\hat{\jmath}).
Agora somamos e subtraímos conforme a fórmula:
m_A\vec{v}_{iA}+m_B\vec{v}_{iB}-m_A\vec{v}_{fA}=(30-30-(-12))\hat{\imath}+(60+15-60)\hat{\jmath}.
Cálculo das componentes:
x:\\\ 30-30+12=12,
y:\\\ 60+15-60=15.
Dividindo por m_B=3,0 obtemos
\vec{v}_{fB}=\frac{1}{3,0}(12\hat{\imath}+15\hat{\jmath})=4\hat{\imath}+5\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora vamos calcular a energia cinética inicial total K_i. Fórmula da energia cinética de um corpo: para massa m e velocidade \vec{v},
K=\tfrac{1}{2}m\lVert\vec{v}\rVert^{2},
onde \lVert\vec{v}\rVert^{2}=v_x^{2}+v_y^{2}. Calculemos as normas ao quadrado:
\lVert\vec{v}_{iA}\rVert^{2}=15^{2}+30^{2}=225+900=1125,
\lVert\vec{v}_{iB}\rVert^{2}=(-10)^{2}+5^{2}=100+25=125.
Então
K_i=\tfrac{1}{2}m_A\lVert\vec{v}_{iA}\rVert^{2}+\tfrac{1}{2}m_B\lVert\vec{v}_{iB}\rVert^{2}
K_i=\tfrac{1}{2}\cdot2,0\cdot1125+\tfrac{1}{2}\cdot3,0\cdot125=1,0\cdot1125+1,5\cdot125.
Calculando:
K_i=1125+187,5=1312,5\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calculemos agora a energia cinética final K_f. Precisamos das normas ao quadrado das velocidades finais:
\lVert\vec{v}_{fA}\rVert^{2}=(-6,0)^{2}+30^{2}=36+900=936,
\lVert\vec{v}_{fB}\rVert^{2}=4^{2}+5^{2}=16+25=41.
Aplicando a fórmula:
K_f=\tfrac{1}{2}m_A\lVert\vec{v}_{fA}\rVert^{2}+\tfrac{1}{2}m_B\lVert\vec{v}_{fB}\rVert^{2}
K_f=\tfrac{1}{2}\cdot2,0\cdot936+\tfrac{1}{2}\cdot3,0\cdot41=1,0\cdot936+1,5\cdot41.
Calculando:
K_f=936+61,5=997,5\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Agora a variação da energia cinética:
\Delta K=K_f-K_i=997,5-1312,5=-315\\ \mathrm{J}.
O sinal negativo indica que a energia cinética foi perdida. Portanto, a colisão não foi perfeitamente elástica — parte da energia cinética foi transformada em calor, som, deformação, etc.

Passo 7

Verificação rápida (checagem de consistência): total do momento inicial e final (componentes) devem coincidir. Momento inicial:
\vec{p}_i=m_A\vec{v}_{iA}+m_B\vec{v}_{iB}=(30-30)\hat{\imath}+(60+15)\hat{\jmath}=0\hat{\imath}+75\hat{\jmath}.
Momento final:
\vec{p}_f=m_A\vec{v}_{fA}+m_B\vec{v}_{fB}=(-12+12)\hat{\imath}+(60+15)\hat{\jmath}=0\hat{\imath}+75\hat{\jmath}.
Como \vec{p}_i=\vec{p}_f, a velocidade calculada para B está consistente com a conservação do momento.

Resposta

\vec{v}_{fB}=4\hat{\imath}+5\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s}
A energia cinética diminuiu em 315\\ \mathrm{J} (ou seja, \Delta K=-315\\ \mathrm{J}).

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