1. Um próton (massa atômica 1,01 \mathrm{u} ) choca-se elasticamente, a 518 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com outro próton parado. O primeiro próton é desviado 64^{\circ} de sua direção inicial. (a) Qual a direção da velocidade do próton-alvo após o choque? (b) Quais as velocidades dos prótons depois do impacto?
    (Pág. 212)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as perguntas abaixo:
  • Informações:
    • Um próton inicial (vamos chamá-lo de próton 1) tem velocidade inicial \,v_0=518\\ \mathrm{m/s}\,.
    • O outro próton (próton 2) está inicialmente em repouso.
    • Após o choque elástico, o próton 1 é desviado \,64^\circ\, em relação à sua direção inicial.
    • As massas dos prótons são iguais (dado: massa atômica \,1{,}01\,\mathrm{u}\,, mas como são iguais, a massa comum cancela nas equações).
  • Perguntas:
    (a) Qual a direção da velocidade do próton-alvo (próton 2) após o choque?
    (b) Quais são as velocidades dos dois prótons depois do impacto?

Passo 2

Princípios físicos que vamos usar (sem ainda resolver): conservação do momento linear vetorial e conservação da energia cinética (porque o choque é elástico). Em linguagem de fórmulas, tomando vetores de velocidade:
m\mathbf{v}_0 = m\mathbf{v}_1' + m\mathbf{v}_2'
e
\tfrac{1}{2}m v_0^2 = \tfrac{1}{2}m v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m v_2'^2,
onde:
  • \mathbf{v}_0 é a velocidade inicial do próton 1 (apontando ao longo do eixo x),
  • \mathbf{v}_1' e \mathbf{v}_2' são as velocidades após o choque dos prótons 1 e 2, com módulos v_1' e v_2',
  • m é a massa dos prótons (igual para ambos).
    Como as massas são iguais, podemos dividir por m nas equações, eliminando m.

Passo 3

Mostro uma consequência útil das duas conservações: escreva a conservação vetorial como
\mathbf{v}_0=\mathbf{v}_1'+\mathbf{v}_2'.
Faça o produto escalar dessa igualdade por ela mesma (ou seja, “elevar ao quadrado”):
v_0^2 = v_1'^2 + v_2'^2 + 2\,\mathbf{v}_1'\cdot\mathbf{v}_2'.
Mas a conservação da energia cinética dá
v_0^2 = v_1'^2 + v_2'^2.
Comparando as duas expressões para v_0^2 obtemos
2\,\mathbf{v}_1'\cdot\mathbf{v}_2' = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{v}_1'\cdot\mathbf{v}_2'=0.
Isto significa que os vetores \mathbf{v}_1' e \mathbf{v}_2' são perpendiculares após o choque. Este é um resultado clássico e muito útil quando duas massas iguais colidem elasticamente com uma inicialmente em repouso.

Passo 4

Use a informação do enunciado: o próton 1 foi desviado de sua direção inicial por \,64^\circ. Como \mathbf{v}_1' e \mathbf{v}_2' são perpendiculares, a direção de \mathbf{v}_2' deve formar ângulo de
90^\circ-64^\circ=26^\circ
com a direção inicial. Para obedecer à conservação do momento (com soma vetorial resultando na direção inicial), o próton 2 sai do outro lado do eixo: isto é, se o próton 1 desviou para cima +64^\circ, o próton 2 sai para baixo com ângulo -26^\circ. Portanto, a direção do próton-alvo é a \,26^\circ\, em relação à direção inicial, no lado oposto ao desvio do próton 1.

Passo 5

Agora achamos os módulos v_1'\) e \(v_2'\). Colocamos eixos com o eixo \(x\) na direção inicial do movimento e o eixo \(y\) perpendicular. As equações de conservação do momento nas componentes são: \[\begin{cases} v_0 = v_1'\cos 64^\circ + v_2'\cos 26^\circ,\\[4pt] 0 = v_1'\sin 64^\circ - v_2'\sin 26^\circ, \end{cases}
onde na segunda equação o sinal está ajustado porque escolhemos v_1'\] para cima e \(v_2' para baixo (logo a componente y do próton 2 é negativa). Da segunda equação isolamos
v_2'=\frac{v_1'\sin 64^\circ}{\sin 26^\circ}.
Substituindo essa expressão na primeira equação obtemos
v_0 = v_1'\cos 64^\circ + \frac{v_1'\sin 64^\circ}{\sin 26^\circ}\cos 26^\circ.
Use as identidades trigonométricas \cos 64^\circ=\sin 26^\circ e \cos 26^\circ=\sin 64^\circ. Substituindo:
v_0 = v_1'\sin 26^\circ + \frac{v_1'\sin 64^\circ}{\sin 26^\circ}\sin 64^\circ = v_1'\left(\sin 26^\circ + \frac{\sin^2 64^\circ}{\sin 26^\circ}\right).
Combine termos com denominador comum \sin 26^\circ:
v_0 = v_1'\,\frac{\sin^2 26^\circ + \sin^2 64^\circ}{\sin 26^\circ}.
Mas \sin^2 26^\circ + \sin^2 64^\circ = 1 porque \sin 64^\circ=\cos 26^\circ e \sin^2 26^\circ+\cos^2 26^\circ=1. Assim
v_0 = \frac{v_1'}{\sin 26^\circ}\quad\Rightarrow\quad v_1' = v_0\sin 26^\circ.
E, pela relação anterior,
v_2' = \frac{v_1'\sin 64^\circ}{\sin 26^\circ} = v_0\sin 64^\circ\frac{\sin 26^\circ}{\sin 26^\circ} = v_0\cos 26^\circ.
Resumo das fórmulas simples que obtivemos:
v_1' = v_0\sin 26^\circ,\qquad v_2' = v_0\cos 26^\circ.]

Passo 6

Cálculo numérico (use trigonometria):
\sin 26^\circ \approx 0{,}438371146,\qquad \cos 26^\circ \approx 0{,}898794046.
Logo
v_1' = 518\times 0{,}438371146 \approx 226{,}94\\ \mathrm{m/s},
v_2' = 518\times 0{,}898794046 \approx 465{,}80\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados):
v_1' \approx 227\\ \mathrm{m/s},\qquad v_2' \approx 466\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Pequena verificação de consistência: pela conservação de energia deve valer v_0^2\approx v_1'^2+v_2'^2. Calculando com os valores não arredondados:
226{,}94^2+465{,}80^2 \approx 51480 + 216974 \approx 268454 \approx 518^2,
e 518^2=268324. Há pequena diferença por arredondamento nas funções trigonométricas/operacões, mas está consistente dentro da precisão usada. Tudo coerente.

Resposta

(a) \,26^\circ abaixo da direção inicial do próton incidente (ou seja, \,26^\circ do eixo inicial no lado oposto ao desvio de \,64^\circ).
(b) v_1'\approx 227\\ \mathrm{m/s} (próton incidente após o choque)
v_2'\approx 466\\ \mathrm{m/s} (próton-alvo após o choque)

Exercícios relacionados