- Um próton (massa atômica
) choca-se elasticamente, a
, com outro próton parado. O primeiro próton é desviado
de sua direção inicial. (a) Qual a direção da velocidade do próton-alvo após o choque? (b) Quais as velocidades dos prótons depois do impacto?
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Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as perguntas abaixo:
- Informações:
- Um próton inicial (vamos chamá-lo de próton 1) tem velocidade inicial
. - O outro próton (próton 2) está inicialmente em repouso.
- Após o choque elástico, o próton 1 é desviado
em relação à sua direção inicial. - As massas dos prótons são iguais (dado: massa atômica
, mas como são iguais, a massa comum cancela nas equações).
- Um próton inicial (vamos chamá-lo de próton 1) tem velocidade inicial
- Perguntas:
(a) Qual a direção da velocidade do próton-alvo (próton 2) após o choque?
(b) Quais são as velocidades dos dois prótons depois do impacto?
Passo 2
Princípios físicos que vamos usar (sem ainda resolver): conservação do momento linear vetorial e conservação da energia cinética (porque o choque é elástico). Em linguagem de fórmulas, tomando vetores de velocidade:
e
onde:
-
é a velocidade inicial do próton 1 (apontando ao longo do eixo ), -
e são as velocidades após o choque dos prótons 1 e 2, com módulos e , -
é a massa dos prótons (igual para ambos).
Como as massas são iguais, podemos dividir pornas equações, eliminando .
Passo 3
Mostro uma consequência útil das duas conservações: escreva a conservação vetorial como
Faça o produto escalar dessa igualdade por ela mesma (ou seja, “elevar ao quadrado”):
Mas a conservação da energia cinética dá
Comparando as duas expressões para
obtemos
Isto significa que os vetores
e
são perpendiculares após o choque. Este é um resultado clássico e muito útil quando duas massas iguais colidem elasticamente com uma inicialmente em repouso.
Passo 4
Use a informação do enunciado: o próton 1 foi desviado de sua direção inicial por
. Como
e
são perpendiculares, a direção de
deve formar ângulo de
com a direção inicial. Para obedecer à conservação do momento (com soma vetorial resultando na direção inicial), o próton 2 sai do outro lado do eixo: isto é, se o próton 1 desviou para cima
, o próton 2 sai para baixo com ângulo
. Portanto, a direção do próton-alvo é a
em relação à direção inicial, no lado oposto ao desvio do próton 1.
Passo 5
Agora achamos os módulos
onde na segunda equação o sinal está ajustado porque escolhemos
para baixo (logo a componente
do próton 2 é negativa). Da segunda equação isolamos
Substituindo essa expressão na primeira equação obtemos
Use as identidades trigonométricas
e
. Substituindo:
Combine termos com denominador comum
:
Mas
porque
e
. Assim
E, pela relação anterior,
Resumo das fórmulas simples que obtivemos:
Passo 6
Cálculo numérico (use trigonometria):
Logo
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com os dados):
Passo 7
Pequena verificação de consistência: pela conservação de energia deve valer
. Calculando com os valores não arredondados:
e
. Há pequena diferença por arredondamento nas funções trigonométricas/operacões, mas está consistente dentro da precisão usada. Tudo coerente.
Resposta
(a)
abaixo da direção inicial do próton incidente (ou seja,
do eixo inicial no lado oposto ao desvio de
).
(b) (próton incidente após o choque)
(próton-alvo após o choque)
(b)