Dois objetos de massas m1 e m2 movem-se horizontalmente com velocidades iniciais v1 e v2, respectivamente. Eles sofrem uma colisão perfeitamente elástica. (Resolva de forma literal, em termos das variáveis dadas).
Mostre que, se m1= m2, os objetos trocam de velocidade após a colisão.
Mostre que, se m1= m2, os objetos trocam de velocidade após a colisão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois objetos com massas $ m_1 $ e $ m_2 $ que estão se movendo horizontalmente com velocidades iniciais $ v_1 $ e $ v_2 $. Eles sofrem uma colisão perfeitamente elástica. Nosso objetivo é mostrar que, se $ m_1 = m_2 $, os objetos trocam de velocidade após a colisão. Para resolver isso, a gente vai usar as leis de conservação de momento e de energia cinética, que são essenciais quando lidamos com colisões elásticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das duas leis fundamentais que governam as colisões perfeitamente elásticas:
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Conservação do Momento Linear:Aqui, $ v’_1 $ e $ v’_2 $ são as velocidades dos objetos após a colisão.
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Conservação da Energia Cinética:
Essas duas equações vão nos ajudar a encontrar as velocidades finais $ v’_1 $ e $ v’_2 $.
Passo 3
Vamos simplificar as equações. Primeiramente, podemos multiplicar todas as partes das equações por 2 para eliminar os
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Momento Linear:
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Energia Cinética:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para $ v’_1 $ e $ v’_2 $.
Passo 4
Para resolver o sistema, vamos expressar uma das velocidades finais em termos da outra usando a conservação do momento.
A partir da primeira equação:
Agora, vamos usar a conservação da energia cinética e substituir essa relação para encontrar uma expressão para $ v’_1 $ e $ v’_2 $.
Passo 5
Após alguns passos de álgebra (que envolvem substituir e rearranjar as equações), chegamos às fórmulas para as velocidades finais em uma colisão perfeitamente elástica:
Essas fórmulas nos dizem como as velocidades finais dependem das massas e das velocidades iniciais dos objetos.
Passo 6
Agora, vamos ver o que acontece quando $ m_1 = m_2 $. Vamos substituir $ m_1 = m_2 = m $ nas fórmulas:
Para $ v’_1 $:
Para $ v’_2 $:
Resposta
Portanto, quando $ m_1 = m_2 $, os objetos trocam de velocidade após a colisão. Ou seja, $ v’_1 = v_2 $ e $ v’_2 = v_1 $.