Dois objetos de massas m1 e m2 movem-se horizontalmente com velocidades iniciais v1 e v2, respectivamente. Eles sofrem uma colisão perfeitamente elástica. (Resolva de forma literal, em termos das variáveis dadas).
Mostre que, se m1= m2, os objetos trocam de velocidade após a colisão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois objetos com massas $ m_1 $ e $ m_2 $ que estão se movendo horizontalmente com velocidades iniciais $ v_1 $ e $ v_2 $. Eles sofrem uma colisão perfeitamente elástica. Nosso objetivo é mostrar que, se $ m_1 = m_2 $, os objetos trocam de velocidade após a colisão. Para resolver isso, a gente vai usar as leis de conservação de momento e de energia cinética, que são essenciais quando lidamos com colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das duas leis fundamentais que governam as colisões perfeitamente elásticas:
  1. Conservação do Momento Linear:
    m1 v1 + m2 v2 = m1 v'1 + m2 v'2
    Aqui, $ v’_1 $ e $ v’_2 $ são as velocidades dos objetos após a colisão.
  2. Conservação da Energia Cinética:
Essas duas equações vão nos ajudar a encontrar as velocidades finais $ v’_1 $ e $ v’_2 $.

Passo 3

Vamos simplificar as equações. Primeiramente, podemos multiplicar todas as partes das equações por 2 para eliminar os 12:
  1. Momento Linear:
    m1 v1 + m2 v2 = m1 v'1 + m2 v'2
  2. Energia Cinética:
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para $ v’_1 $ e $ v’_2 $.

Passo 4

Para resolver o sistema, vamos expressar uma das velocidades finais em termos da outra usando a conservação do momento.
A partir da primeira equação:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v'1 + m2 v'2 Rightarrow m1 (v'1 - v1) = m2 (v2 - v'2) Rightarrow v'1 - v1 = m2m1 (v2 - v'2)
Agora, vamos usar a conservação da energia cinética e substituir essa relação para encontrar uma expressão para $ v’_1 $ e $ v’_2 $.

Passo 5

Após alguns passos de álgebra (que envolvem substituir e rearranjar as equações), chegamos às fórmulas para as velocidades finais em uma colisão perfeitamente elástica:
v'1 = (m1 - m2)m1 + m2 v1 + 2 m2m1 + m2 v2
v'2 = 2 m1m1 + m2 v1 + (m2 - m1)m1 + m2 v2
Essas fórmulas nos dizem como as velocidades finais dependem das massas e das velocidades iniciais dos objetos.

Passo 6

Agora, vamos ver o que acontece quando $ m_1 = m_2 $. Vamos substituir $ m_1 = m_2 = m $ nas fórmulas:
Para $ v’_1 $:
m1 = m2
Para $ v’_2 $:
m1 = m2 = m

Resposta

Portanto, quando $ m_1 = m_2 $, os objetos trocam de velocidade após a colisão. Ou seja, $ v’_1 = v_2 $ e $ v’_2 = v_1 $.

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