Dois operadores Hermitianos anti-comutam: A, B=A B+B A=0. É possível haver um autoket simultâneo de A e B ? Prove ou ilustre sua afirmação

Passo 1

O enunciado pergunta sobre dois operadores Hermitianos A e B que satisfazem o anticomutador A,B=AB+BA=0 e quer saber se existe um vetor não-nulo |ψ⟩ que seja autovetor simultâneo de A e de B. O conteúdo envolve teoria de autovalores e autovetores de operadores Hermitianos e a propriedade de anticomutação.

Passo 2

Suponha que exista um vetor não-nulo |ψ⟩ tal que
Alvertpsirang<= = alvertpsirang<=, Blvertpsirang<= = blvertpsirang<=,
onde a e b são os autovalores de A e de B, respectivamente. Vamos usar a relação AB+BA=0 agindo em |ψ⟩.

Passo 3

Aplicando AB+BA=0 em |ψ⟩ temos
l(AB+BAr)lvertpsirang<= = ABlvertpsirang<= + BAlvertpsirang<= = Al(blvertpsirang<=r) + Bl(alvertpsirang<=r)

Passo 4

Como A e B são lineares e Hermitianos,
A(blvertpsirang<=)=b,Alvertpsirang<= = b,alvertpsirang<=, B(alvertpsirang<=)=a,Blvertpsirang<= = a,blvertpsirang<=

Passo 5

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ABlvertpsirang<= + BAlvertpsirang<= = (b a + a b)lvertpsirang<= = 2ablvertpsirang<= = 0

Passo 6

Como |ψ⟩≠0, segue que
2ab=0 Longrightarrow ab=0

Passo 7

Daí só há duas possibilidades: ou a=0 ou b=0. Ou seja, |ψ⟩ pode ser simultaneamente autovetor de A e B somente se um dos dois autovalores for zero. Se ambos forem não nulos, não existe autovetor comum.

Passo 8

Podemos ilustrar numericamente com as matrizes de Pauli em C^2:
sigmax = 0 & 11 & 0, sigmaz = 1 & 00 & -1, que satisfazem sigmax,sigmaz=0. Os autovalores de cada uma são pm1 e não há vetor próprio comum. Por outro lado, se um operador dispuser do autovalor zero, aí caberia um vetor comum.

Resposta

Não existe autoket simultâneo de A e B com ambos os autovalores não nulos. Só existe vetor próprio comum se um dos autovalores for zero (isto é, ab=0).

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