Dois operadores Hermitianos anti-comutam:
. É possível haver um autoket simultâneo de
e
? Prove ou ilustre sua afirmação
Passo 1
O enunciado pergunta sobre dois operadores Hermitianos A e B que satisfazem o anticomutador
e quer saber se existe um vetor não-nulo |ψ⟩ que seja autovetor simultâneo de A e de B. O conteúdo envolve teoria de autovalores e autovetores de operadores Hermitianos e a propriedade de anticomutação.
Passo 2
Suponha que exista um vetor não-nulo |ψ⟩ tal que
onde
Passo 3
Aplicando
em |ψ⟩ temos
Passo 4
Como A e B são lineares e Hermitianos,
Passo 5
Logo
Passo 6
Como |ψ⟩≠0, segue que
Passo 7
Daí só há duas possibilidades: ou
ou
. Ou seja, |ψ⟩ pode ser simultaneamente autovetor de A e B somente se um dos dois autovalores for zero. Se ambos forem não nulos, não existe autovetor comum.
Passo 8
Podemos ilustrar numericamente com as matrizes de Pauli em
:
Resposta
Não existe autoket simultâneo de A e B com ambos os autovalores não nulos. Só existe vetor próprio comum se um dos autovalores for zero (isto é, ab=0).