Suponha que
e
são autokets de algum operador Hermitiano
. Sob quais condições podemos concluir que
também é um autoket de
? Justifique sua resposta
Passo 1
A questão pede para entender quando a soma de dois autokets de um operador Hermitiano
também é um autoket desse operador. O conteúdo envolvido é o de autovetores (autokets) e autovalores de operadores Hermitianos, e vamos precisar usar a definição .
Passo 2
Como e são autokets de
com autovalores
e
, aplicamos
à soma dos dois kets:
Passo 3
Para que seja um autoket de
, deve existir
tal que
Passo 4
Comparando com o resultado da aplicação de
, vemos que só podemos ter
Passo 5
ou seja, os dois autovalores devem ser iguais. Em outras palavras, e têm de pertencer a uma mesma subspace degenerada de
.
Resposta
A soma é autoket de
se e somente se os dois autovalores forem iguais (
), ou seja, quando os autokets pertencerem à mesma subspace degenerada.