Em um espaço vetorial bidimensional, considere o operador cuja matriz, em uma base ortonormal |1rang<=,|2rang<= é escrita como:
sigmay=(rr 0 & -i i & 0 )
a) sigmay é Hermitiana? Calcule seus autovalores e autovetores (dando as expansões normalizadas em termos da base |1rang<=,|2rang<= )
b) Calcule as matrizes que representam os projetores sobre estes autovetores. Verifique então que elas satisfazem as relações de ortogonalidade e fechamento

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique se sigmay é Hermitiana, ache seus autovalores e autovetores normalizados na base ortonormal {(|1\rangle,|2\rangle)}, construa os projetores sobre esses autovetores e mostre as relações de ortogonalidade e fechamento. O tema envolve operadores hermitianos, diagonalização e projetores em mecânica quântica.

Passo 2

Para ver se sigmay é Hermitiana, lembramos que um operador é Hermitiano se sua matriz satisfaz M = M^dag>=r, ou seja, ela é igual à sua transposta conjugada. Aplicando isso a sigmay = 0 & -i[6pt]i & 0, seu conjugado transposto é
sigmay^dag>=r = 0 & -i[6pt]i & 0^dag>=r = 0^* & i^*[-2pt](-i)^* & 0^* = 0 & -i[6pt]i & 0 = sigmay
Como sigmay = sigmay^dag>=r, ele é Hermitiano.

Passo 3

Para achar os autovalores resolvemos det(sigmay - lambda I)=0. Isso dá
det-lambda & -i[4pt]i & -lambda = (-lambda)^2 - (-i)(i) = lambda^2 - ( -i^2 ) = lambda^2 - 1 = 0
Logo lambda^2 = 1 e os autovalores são lambda+ = +1 e lambda- = -1.

Passo 4

Para cada valor de lambda encontramos o autovetor não nulo que satisfaz sigmay v = lambda v.
No caso lambda+=1 temos o sistema
- i v2 = v1,[4pt] i v1 = v2
Da primeira equação v1 = -i v2 e da segunda v2 = i v1. Tomando v1 = 1/raiz2 segue v2 = i/raiz2. O autovetor normalizado é
|+rang<= = 1raiz21[4pt]i = 1raiz2(|1rang<= + i|2rang<=)
Para lambda-=-1 o sistema é
$$\begin{cases}
  • i v_2 = -v_1,\[4pt]
    i v_1 = -v_2
\end{cases} - i v2 = -v1,[4pt] i v1 = -v2 |-\rangle = \frac{1}{\sqrt2} v1 = 1/raiz2 = \frac{1}{\sqrt2}(|1\rangle - i|2\rangle).$$

Passo 5

Os projetores sobre esses autovetores são definidos por Ppm = |pmrang<=lang<=pm|. Calculando as matrizes:
P+ = |+rang<=lang<=+| = 121 & -i[4pt]i & 1, $$
P_- = |-\rangle\langle-| = \frac12 P- = |-rang<=lang<=-| = 121 & i[4pt]-i & 1 .
$$

Passo 6

Verificamos agora as propriedades:
Para ortogonalidade P+P- = 0 porque os autovetores são ortogonais, e P+^2 = P+,,P-^2 = P- mostrando que são realmente projetores.
Para fechamento somamos:
P+ + P- = 121 & -i[4pt]i & 1 + 121 & i[4pt]-i & 1 = 1 & 0[4pt]0 & 1 = I

Passo 7

Isso completa a verificação de Hermiticidade, diagonalização e construção dos projetores com as relações pedidas.

Resposta

Autovalores: lambda+ = +1, lambda- = -1.
Autovetores normalizados na base {(|1\rangle,|2\rangle)}:
|+rang<= = tfrac1raiz2(|1rang<= + i|2rang<=), | -rang<= = tfrac1raiz2(|1rang<= - i|2rang<=)
Projetores:
$$P_+ = |+\rangle\langle+| = \tfrac12 P+ = |+rang<=lang<=+| = tfrac121 & -i[4pt]i & 1, P- = |-rang<=lang<=-| = tfrac121 & i[4pt]-i & 1 ,\quad P_- = |-\rangle\langle-| = \tfrac12 P+P- = 0, P+^2=P+, P-^2=P-, P++P-=I.
P_+P_- = 0,\quad P_+^2=P_+,\quad P_-^2=P_-,\quad P_++P_-=I.$$

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