Em um espaço vetorial bidimensional, considere o operador cuja matriz, em uma base ortonormal
é escrita como:
a)
é Hermitiana? Calcule seus autovalores e autovetores (dando as expansões normalizadas em termos da base
)
b) Calcule as matrizes que representam os projetores sobre estes autovetores. Verifique então que elas satisfazem as relações de ortogonalidade e fechamento
b) Calcule as matrizes que representam os projetores sobre estes autovetores. Verifique então que elas satisfazem as relações de ortogonalidade e fechamento
Passo 1
O enunciado pede que a gente verifique se
é Hermitiana, ache seus autovalores e autovetores normalizados na base ortonormal {(|1\rangle,|2\rangle)}, construa os projetores sobre esses autovetores e mostre as relações de ortogonalidade e fechamento. O tema envolve operadores hermitianos, diagonalização e projetores em mecânica quântica.
Passo 2
Para ver se
é Hermitiana, lembramos que um operador é Hermitiano se sua matriz satisfaz
, ou seja, ela é igual à sua transposta conjugada. Aplicando isso a
, seu conjugado transposto é
Como
Passo 3
Para achar os autovalores resolvemos
. Isso dá
Logo
Passo 4
Para cada valor de
encontramos o autovetor não nulo que satisfaz
.
No caso temos o sistema
No caso
Da primeira equação
e da segunda
. Tomando
segue
. O autovetor normalizado é
Para
$$\begin{cases}
- i v_2 = -v_1,\[4pt]
i v_1 = -v_2
\end{cases}
|-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}
= \frac{1}{\sqrt2}(|1\rangle - i|2\rangle).$$
Passo 5
Os projetores sobre esses autovetores são definidos por
. Calculando as matrizes:
P_- = |-\rangle\langle-| = \frac12
.
$$
Passo 6
Verificamos agora as propriedades:
Para ortogonalidade porque os autovetores são ortogonais, e
mostrando que são realmente projetores.
Para fechamento somamos:
Para ortogonalidade
Para fechamento somamos:
Passo 7
Isso completa a verificação de Hermiticidade, diagonalização e construção dos projetores com as relações pedidas.
Resposta
Autovalores:
,
.
Autovetores normalizados na base {(|1\rangle,|2\rangle)}:
Autovetores normalizados na base {(|1\rangle,|2\rangle)}:
Projetores:
$$P_+ = |+\rangle\langle+| = \tfrac12