Sejam
e
duas observáveis. Suponha que os autokets simultâneos de
e
formam um conjunto completo ortonormal de kets de base. Podemos concluir que
? Se sua resposta for sim, prove a afirmativa. Se sua resposta for não, dê um contra exemplo
Passo 1
O enunciado diz que as observáveis A e B têm um conjunto completo ortonormal de autokets simultâneos
. O conteúdo aqui é o critério de comutação: operadores que têm uma base comum de autovetores são simultaneamente diagonalizáveis e, portanto, comutam.
Passo 2
Como A e B agem sobre cada autoket comum, temos as relações próprias:
Passo 3
Para verificar o comutador, aplicamos
sobre um ket genérico da base:
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Passo 4
Como os kets
formam uma base completa, qualquer vetor
pode ser expandido nela. Se
anula todos os vetores da base, conclui-se que
=0 como operador em todo o espaço de Hilbert.
Resposta
Sim. Como mostramos,
anula cada vetor da base comum de autokets, e portanto
.