Sejam A e B duas observáveis. Suponha que os autokets simultâneos de A e B [A, B]=0 formam um conjunto completo ortonormal de kets de base. Podemos concluir que ? Se sua resposta for sim, prove a afirmativa. Se sua resposta for não, dê um contra exemplo

Passo 1

O enunciado diz que as observáveis A e B têm um conjunto completo ortonormal de autokets simultâneos lvert an,bprang<=. O conteúdo aqui é o critério de comutação: operadores que têm uma base comum de autovetores são simultaneamente diagonalizáveis e, portanto, comutam.

Passo 2

Como A e B agem sobre cada autoket comum, temos as relações próprias:
Alvert an,bprang<= = anlvert an,bprang<=, Blvert an,bprang<= = bplvert an,bprang<=

Passo 3

Para verificar o comutador, aplicamos [A,B]=AB - BA sobre um ket genérico da base:
ABlvert an,bprang<= = A(bplvert an,bprang<=) = bp,anlvert an,bprang<=,
BAlvert an,bprang<= = B(anlvert an,bprang<=) = an,bplvert an,bprang<=
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[A,B]lvert an,bprang<= = (bp an - an bp)lvert an,bprang<= = 0

Passo 4

Como os kets lvert an,bprang<= formam uma base completa, qualquer vetor lvertpsirang<= pode ser expandido nela. Se [A,B] anula todos os vetores da base, conclui-se que [A,B]=0 como operador em todo o espaço de Hilbert.

Resposta

Sim. Como mostramos, [A,B] anula cada vetor da base comum de autokets, e portanto [A,B]=0.

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