Dois pacientes foram submetidos a um procedimento de medicina ^circ nuclear. Um paciente recebeu o 99 m-Tc, enquanto o outro paciente recebeu um elemento X (meia vida =180 horas). Se a dose (em termos de atividade) do 99 m -Tc é 3 vezes maior que do composto X, em que momento (em termos de tempo) a radioatividade (em termos de atividade) no corpo dos dois pacientes será a mesma?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois pacientes que passaram por um procedimento de medicina nuclear. Um recebeu o ^99mTc e o outro recebeu um elemento X com meia-vida de 180 horas. A dose de atividade do ^99mTc é 3 vezes maior que a do elemento X. A gente precisa descobrir em que momento, ou seja, em quanto tempo, as atividades dos dois no corpo vão ser iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de radioatividade, atividade e meia-vida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é atividade radioativa. A atividade ( A) representa o número de decaimentos por segundo de um material radioativo. Ela diminui com o tempo conforme o material decai. A meia-vida ( T1/2) é o tempo que leva para a atividade cair pela metade.
A fórmula que relaciona atividade e tempo é:
A(t) = A0 cdot e^-lambda t
Onde:
  • A(t) é a atividade no tempo t
  • A0 é a atividade inicial
  • lambda é a constante de decaimento, que está relacionada com a meia-vida pela fórmula lambda = ln 2T1/2

Passo 3

Vamos chamar:
  • A1(t) de atividade do ^99mTc
  • A2(t) de atividade do elemento X
Sabemos que inicialmente, A1(0) = 3 A2(0). Queremos encontrar o tempo t em que A1(t) = A2(t).
Usando a fórmula da atividade:
A1(t) = 3 A2(0) cdot e^-lambda1 t
A2(t) = A2(0) cdot e^-lambda2 t
Queremos que A1(t) = A2(t):
3 A2(0) cdot e^-lambda1 t = A2(0) cdot e^-lambda2 t

Passo 4

Podemos simplificar a equação dividindo os dois lados por A2(0):
3 e^-lambda1 t = e^-lambda2 t
Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para t:
ln(3) - lambda1 t = -lambda2 t
Rearranjando:
ln(3) = (lambda1 - lambda2) t
Então, isolando t:
t = ln(3)lambda1 - lambda2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as constantes de decaimento lambda1 e lambda2. Lembrando que lambda = ln 2T1/2.
Para o ^99mTc, a meia-vida é aproximadamente 6 horas:
lambda1 = ln 26 , h^-1
Para o elemento X, a meia-vida é 180 horas:
lambda2 = ln 2180 , h^-1

Passo 6

Substituindo lambda1 e lambda2 na fórmula do tempo t:
t = ln(3)ln 26 - ln 2180 = ln(3)ln 2 (16 - 1180)
Simplificando o denominador:
16 - 1180 = 30180 - 1180 = 29180
Então:
t = ln(3)ln 2 cdot 29180 = ln(3)ln 2 cdot 18029

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
ln(3) approx 1.0986
ln(2) approx 0.6931
Portanto:
t approx 1.09860.6931 cdot 18029 approx 1.585 cdot 6.2069 approx 9.83 , horas

Resposta

A radioatividade dos dois pacientes será a mesma após aproximadamente 9,83 horas.

Exercícios relacionados