Dois pacientes foram submetidos a um procedimento de medicina
nuclear. Um paciente recebeu o
, enquanto o outro paciente recebeu um elemento
(meia vida
horas). Se a dose (em termos de atividade) do 99 m -Tc é 3 vezes maior que do composto
, em que momento (em termos de tempo) a radioatividade (em termos de atividade) no corpo dos dois pacientes será a mesma?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois pacientes que passaram por um procedimento de medicina nuclear. Um recebeu o
e o outro recebeu um elemento
com meia-vida de 180 horas. A dose de atividade do
é 3 vezes maior que a do elemento
. A gente precisa descobrir em que momento, ou seja, em quanto tempo, as atividades dos dois no corpo vão ser iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de radioatividade, atividade e meia-vida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é atividade radioativa. A atividade (
) representa o número de decaimentos por segundo de um material radioativo. Ela diminui com o tempo conforme o material decai. A meia-vida (
) é o tempo que leva para a atividade cair pela metade.
A fórmula que relaciona atividade e tempo é:
Onde:
-
é a atividade no tempo -
é a atividade inicial -
é a constante de decaimento, que está relacionada com a meia-vida pela fórmula
Passo 3
Vamos chamar:
-
de atividade do -
de atividade do elemento
Sabemos que inicialmente,
. Queremos encontrar o tempo
em que
.
Usando a fórmula da atividade:
Queremos que
:
Passo 4
Podemos simplificar a equação dividindo os dois lados por
:
Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para
:
Rearranjando:
Então, isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as constantes de decaimento
e
. Lembrando que
.
Para o
, a meia-vida é aproximadamente 6 horas:
Para o elemento
, a meia-vida é 180 horas:
Passo 6
Substituindo
e
na fórmula do tempo
:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
Portanto:
Resposta
A radioatividade dos dois pacientes será a mesma após aproximadamente 9,83 horas.