A pressão e o volume iniciais de um gás diatômico ideal são pi=2,00×105 Pa e Vi=4,00 times 1026 m^3. Qual é o trabalho W realizado pelo gás e qual é a variação De da energia interna se o gás sofre uma expansão adiabática até atingir o volume Vf=8,00 times 1026 m^3 ? Suponha que as moléculas giram, mas não oscilam, durante o processo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de um gás diatômico ideal que sofre uma expansão adiabática. Precisamos encontrar o trabalho realizado pelo gás $ W $ e a variação da energia interna $ \Delta E_{int} $. Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente as leis dos gases ideais em processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão adiabática. Nesse tipo de processo, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0 $. A relação fundamental da termodinâmica nos diz que:
Q = 0
Como $ Q = 0 $, temos:
De
Isso significa que a variação da energia interna é igual ao negativo do trabalho realizado pelo gás.

Passo 3

Agora, vamos utilizar a relação para processos adiabáticos de gases ideais:
Pi Vi^gamma = Pf Vf^gamma
onde $ \gamma $ é o índice adiabático, que depende do tipo de gás. Para um gás diatômico, considerando que as moléculas giram mas não vibram, temos:
gamma
Com $ f $ sendo os graus de liberdade. Para um gás diatômico com rotação, $ f = 5 $, então:
gamma = 1 + 2f

Passo 4

Vamos encontrar o trabalho $ W $ realizado pelo gás durante a expansão adiabática. A fórmula para o trabalho em um processo adiabático é:
W
Primeiro, precisamos encontrar $ P_f $. Usando a relação adiabática:
W = Pi Vi - Pf Vfgamma - 1
Substituindo os valores:
Pf

Passo 5

Calculando $ \left(0,5\right)^{1,4} $:
(0,5)^1,4
Portanto:
(0,5)^1,4 approx 0,5^1 times 0,5^0,4 approx 0,5 times 0,7579 approx 0,37895

Passo 6

Agora, substituímos $ P_i $, $ V_i $, $ P_f $ e $ V_f $ na fórmula do trabalho:
Pi
Vi
Pf

Passo 7

Lembrando que $ \Delta E_{int} = -W $, temos:
De

Resposta

O trabalho realizado pelo gás é $ W = 4,85 \times 10^{31} , J $ e a variação da energia interna é $ \Delta E_{int} = -4,85 \times 10^{31} , J $.

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