Dois paralelepípedos retângulos têm diagonais iguais, e a soma das três dimensões de um é igual à soma das três dimensões do outro. Prove que as áreas totais de ambos são iguais.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois paralelepípedos retângulos com arestas
e
. As hipóteses são:
- As diagonais espaciais são iguais, ou seja
- A soma das arestas é a mesma, isto é
Queremos mostrar que as áreas totais são iguais, ou seja
O conteúdo principal é usar identidades de somas e produtos simétricos de três variáveis.
Passo 2
Definimos
e, analogamente,
Pelas hipóteses, temos
Passo 3
Usamos a identidade algébrica que relaciona soma de variáveis, soma de produtos e soma de quadrados:
Em notação nossa, isso é
Analogamente para as variáveis
:
Passo 4
Como
e
, subtraímos as duas identidades
ficando
Logo
Passo 5
A área total de um paralelepípedo de arestas
é
e no outro é
Como
, concluímos que as áreas totais são iguais.
Resposta
As áreas totais dos paralelepípedos são iguais.