Dois paralelepípedos retângulos têm diagonais iguais, e a soma das três dimensões de um é igual à soma das três dimensões do outro. Prove que as áreas totais de ambos são iguais.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois paralelepípedos retângulos com arestas (a,b,c) e (x,y,z). As hipóteses são:
  1. As diagonais espaciais são iguais, ou seja
a^2+b^2+c^2 ;=; x^2+y^2+z^2
  1. A soma das arestas é a mesma, isto é
a+b+c ;=; x+y+z
Queremos mostrar que as áreas totais são iguais, ou seja
2l(ab+ac+bcr) ;=; 2l(xy+xz+yzr)
O conteúdo principal é usar identidades de somas e produtos simétricos de três variáveis.

Passo 2

Definimos
S = a+b+c, P = ab+ac+bc, D = a^2+b^2+c^2
e, analogamente,
S' = x+y+z, P' = xy+xz+yz, D' = x^2+y^2+z^2
Pelas hipóteses, temos
S = S' e D = D'

Passo 3

Usamos a identidade algébrica que relaciona soma de variáveis, soma de produtos e soma de quadrados:
(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)
Em notação nossa, isso é
S^2 = D + 2P
Analogamente para as variáveis x,y,z:
S'^2 = D' + 2P'

Passo 4

Como S=S' e D=D', subtraímos as duas identidades
S^2 - S'^2 = (D+2P) - (D'+2P'),
ficando
0 = 2(P - P')
Logo
P = P'

Passo 5

A área total de um paralelepípedo de arestas (a,b,c) é
2(ab+ac+bc) = 2P,
e no outro é
2(xy+xz+yz) = 2P'
Como P = P', concluímos que as áreas totais são iguais.

Resposta

As áreas totais dos paralelepípedos são iguais.

Exercícios relacionados