Dois patinadores aproximam-se um do outro em trajetórias paralelas separadas por uma distância d. Eles possuem velocidades de mesmo módulo e sentidos opostos. Quando passam um pelo outro, se dão as mãos. A partir desse momento eles giram, em torno de seu centro de massa, com velocidade angular \omega. De repente, os dois patinadores se puxam um na direção
do outro, e a distância entre suas trajetórias passa a ser a metade do valor anterior, d / 2.
Avalie se as seguintes afirmativas são falsas ou verdadeiras.
I) A velocidade angular inicial é igual à velocidade angular final.
II) O momento de inércia inicial é igual ao final.
III) O momento angular inicial é igual ao final.
São verdadeiras:
(a) nenhuma das afirmativas.
(b) a afirmativa III, apenas.
(c) a afirmativa II, apenas.
(d) a afirmativa I, apenas.
(e) todas as afirmativas.

Passo 1

O enunciado descreve dois patinadores, cada um de massa m, que ao se encontrarem agarram as mãos e passam a girar em torno do seu centro de massa comum com velocidade angular inicial \omega. As trajetórias iniciais estão separadas por uma distância d, de modo que cada patinador está a d/2 do eixo de rotação. Em seguida eles se puxam reduzindo a distância entre eles para d/2, ou seja, cada um passa a ficar a d/4 do eixo. Para resolver usamos os conceitos de momento de inércia de ponto material, conservação do momento angular (não há torque externo) e relação entre momento angular, momento de inércia e velocidade angular.

Passo 2

Calculemos o momento de inércia inicial I_i em torno do centro de massa. Cada patinador é tratado como partícula de massa m situada a r_i=d/2. Assim
I_i \;=\; 2\,m\,(r_i)^2 \;=\; 2\,m\left(\frac{d}{2}\right)^{2} \;=\; \frac{m\,d^{2}}{2}.
O momento angular inicial é
L_i \;=\; I_i\,\omega \;=\;\frac{m\,d^{2}}{2}\,\omega.

Passo 3

Depois de se puxarem, cada patinador fica a r_f=d/4 do eixo, logo o momento de inércia final é
I_f \;=\; 2\,m\,(r_f)^2 \;=\; 2\,m\left(\frac{d}{4}\right)^{2} \;=\;\frac{m\,d^{2}}{8}.
Como não atuam torques externos sobre o sistema, o momento angular se conserva:
L_f \;=\; L_i \quad\Longrightarrow\quad I_f\,\omega_f \;=\; I_i\,\omega \quad\Longrightarrow\quad \omega_f \;=\;\frac{I_i}{I_f}\,\omega \;=\;\frac{\tfrac{m\,d^2}{2}}{\tfrac{m\,d^2}{8}}\,\omega \;=\;4\,\omega.

Passo 4

Comparando inicial e final:
I) \omega_i\neq \omega_f ( \omega_f=4\omega_i), logo I é falsa.
II) I_i\neq I_f ( I_f=I_i/4), logo II é falsa.
III) L_i=L_f por conservação do momento angular, logo III é verdadeira.

Resposta

(b) a afirmativa III, apenas.

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