Uma partícula possui 1 kg de massa e descreve um movimento com vetor posição descrito pela função \vec{r}(t)=[(-t+2) \hat{\imath}+2 t \hat{\jmath}] \mathrm{m}. Marque a alternativa abaixo que descreve o seu momento angular.
(a) \vec{L}=-4 k g \cdot m^{2} / s \hat{k}
(b) \vec{L}=(-t+2) \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} \hat{k}
(c) \vec{L}=(2 t-2) \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} \hat{k}
(d) \vec{L}=4 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} \hat{k}
(e) \vec{L}=(2 t+2) \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} \hat{k}

Passo 1

O enunciado informa uma partícula de massa m=1\,\mathrm{kg} com posição
\displaystyle \vec r(t) = [(-t+2)\,\hat\imath + 2t\,\hat\jmath]\,\mathrm{m}.
Queremos o momento angular \vec L, cujo conceito é
\vec L = \vec r \times \vec p
com \vec p = m\,\vec v.

Passo 2

Calcular a velocidade:
\vec v(t) = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl[(-t+2)\,\hat\imath + 2t\,\hat\jmath\bigr] = -\hat\imath + 2\,\hat\jmath.

Passo 3

Como m=1\,\mathrm{kg}, o momento linear é
\vec p(t)=m\,\vec v(t)=1\cdot(-\hat\imath+2\hat\jmath)=-\hat\imath+2\hat\jmath \quad(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}).

Passo 4

Fazer o produto vetorial no plano xy:
\vec L = \vec r\times\vec p = \bigl(x\,\hat\imath + y\,\hat\jmath\bigr)\times\bigl(p_x\,\hat\imath + p_y\,\hat\jmath\bigr)
aponta em \hat k com
L_z = x\,p_y - y\,p_x.
Aqui x=-t+2, y=2t, p_x=-1, p_y=2, logo
L_z = (-t+2)\cdot2 - (2t)\cdot(-1) = 2(-t+2) + 2t.

Passo 5

Simplificando
L_z = -2t +4 +2t = 4.
Portanto
\vec L = 4\,\hat k \quad(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}),
constante no tempo.

Resposta

(d) \vec L = 4\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}\,\hat k

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