Dois pequenos objetos idênticos de massa m e carga elétrica q encontram-se suspensos por fios isolantes de comprimento l. Dado que os corpos atingem o equilíbrio num ângulo de abertura 2 theta:
Demonstre que q^2=16 pi varepsilon0 m g l^2 tan theta sin ^2 theta e que, assim, este mecanismo pode servir de medida da carga elétrica q desses objetos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois objetos pequenos, iguais, cada um com massa $ m $ e carga elétrica $ q $, suspensos por fios isolantes de comprimento $ l $. Quando esses objetos alcançam o equilíbrio, formam um ângulo de abertura de $ 2\theta $. A gente precisa demonstrar que:
m
Além disso, mostrar que esse arranjo pode ser usado para medir a carga elétrica $ q $ desses objetos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e a Lei de Coulomb da eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as forças que atuam em cada objeto no ponto de equilíbrio. Existem três forças principais:
  1. Força gravitacional ($ \vec{F}_g $): Puxa o objeto para baixo e é igual a $ m g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
  2. Tensão do fio ($ \vec{T} $): Atua ao longo do fio, tendo componentes horizontal e vertical.
  3. Força eletrostática ($ \vec{F}_e $): Devido às cargas elétricas iguais, causa repulsão entre os objetos.

Passo 3

Vamos decompor a tensão do fio em suas componentes horizontal ($ T \sin \theta T sin theta T \cos \theta $):
  • Equilíbrio vertical: A componente vertical da tensão equilibra a força gravitacional.
    T cos theta
  • Equilíbrio horizontal: A componente horizontal da tensão equilibra a força eletrostática de repulsão.
    T cos theta = m g

Passo 4

Agora, vamos trazer a Lei de Coulomb para a força eletrostática $ F_e $. A força de repulsão entre duas cargas iguais é dada por:
Fe
Onde:
  • $ \varepsilon_{0} $ é a constante de permissividade do vácuo.
  • $ d $ é a distância entre as cargas.
No nosso caso, os objetos estão separados horizontalmente por $ 2 l \sin \theta $ (porque cada fio forma um ângulo $ \theta $ com a vertical). Então, $ d = 2 l \sin \theta $. Substituindo:
Fe = 14 pi varepsilon0 cdot q^2d^2

Passo 5

Agora, vamos relacionar as duas equações de equilíbrio que obtivemos:
T sin theta = q^216 pi varepsilon0 l^2 sin^2 theta
E também sabemos que:
T cos theta = m g
Vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar $ T $:
T
Simplificando:
T sin thetaT cos theta = q^216 pi varepsilon0 l^2 sin^2 thetam g

Passo 6

Agora, isolamos $ q^{2} $ na equação acima:
q^2

Resposta

Assim, demonstramos que:
q^2 = 16 pi varepsilon0 m g l^2 tan theta sin^2 theta
Esse arranjo pode servir como uma medida da carga elétrica $ q $, pois, conhecendo $ m $, $ g $, $ l $ e medindo o ângulo $ \theta $, podemos calcular $ q $ a partir da fórmula obtida.

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