Dois pequenos objetos idênticos de massa
e carga elétrica
encontram-se suspensos por fios isolantes de comprimento
. Dado que os corpos atingem o equilíbrio num ângulo de abertura
:
Demonstre que
e que, assim, este mecanismo pode servir de medida da carga elétrica
desses objetos.
Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois objetos pequenos, iguais, cada um com massa $ m $ e carga elétrica $ q $, suspensos por fios isolantes de comprimento $ l $. Quando esses objetos alcançam o equilíbrio, formam um ângulo de abertura de $ 2\theta $. A gente precisa demonstrar que:
Além disso, mostrar que esse arranjo pode ser usado para medir a carga elétrica $ q $ desses objetos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e a Lei de Coulomb da eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as forças que atuam em cada objeto no ponto de equilíbrio. Existem três forças principais:
- Força gravitacional ($ \vec{F}_g $): Puxa o objeto para baixo e é igual a $ m g $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
- Tensão do fio ($ \vec{T} $): Atua ao longo do fio, tendo componentes horizontal e vertical.
- Força eletrostática ($ \vec{F}_e $): Devido às cargas elétricas iguais, causa repulsão entre os objetos.
Passo 3
Vamos decompor a tensão do fio em suas componentes horizontal ($ T \sin \theta
T \cos \theta $):
-
Equilíbrio vertical: A componente vertical da tensão equilibra a força gravitacional.
-
Equilíbrio horizontal: A componente horizontal da tensão equilibra a força eletrostática de repulsão.
Passo 4
Agora, vamos trazer a Lei de Coulomb para a força eletrostática $ F_e $. A força de repulsão entre duas cargas iguais é dada por:
Onde:
- $ \varepsilon_{0} $ é a constante de permissividade do vácuo.
- $ d $ é a distância entre as cargas.
No nosso caso, os objetos estão separados horizontalmente por $ 2 l \sin \theta $ (porque cada fio forma um ângulo $ \theta $ com a vertical). Então, $ d = 2 l \sin \theta $. Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos relacionar as duas equações de equilíbrio que obtivemos:
E também sabemos que:
Vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar $ T $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, isolamos $ q^{2} $ na equação acima:
Resposta
Assim, demonstramos que:
Esse arranjo pode servir como uma medida da carga elétrica $ q $, pois, conhecendo $ m $, $ g $, $ l $ e medindo o ângulo $ \theta $, podemos calcular $ q $ a partir da fórmula obtida.