Dois pescadores, P1 e P2, estão na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra margem. Sabendo que P1 P2=63 m, os ângulos B widehatP1 P2=alpha e B widehatP2 P1=beta e que tg alpha=2 e tg beta=4, determine a distância (em metros) entre as margens.

Passo 1

Na questão, temos dois pescadores P1 e P2 separados por P1P2=63 m em uma margem reta do rio. O bote B está na margem oposta, formando os ângulos ang<= BP1P2=alpha e ang<= BP2P1=beta com tanalpha=2 e tanbeta=4. O objetivo é achar a largura do rio, que vamos chamar de h. O conteúdo envolve trigonometria e razão trigonométrica da tangente em triângulos retângulos.

Passo 2

Para traduzir em coordenadas, colocamos P1=(0,0) e P2=(63,0) numa reta horizontal (margem de baixo) e a margem de cima como a reta y=h. O bote B então fica em algum ponto (x,h) nessa reta.

Passo 3

No ponto P1, o ângulo alpha é aquele entre a direção para P2 (eixo x positivo) e a direção para B. Num triângulo retângulo com cateto vertical h e cateto horizontal x, vale
tanalpha = hx = 2
Logo,
h = 2x

Passo 4

No ponto P2, o ângulo beta é aquele entre a direção para P1 (eixo x negativo) e a direção para B. O cateto vertical continua h e o cateto horizontal é 63 - x, então
tanbeta = h63 - x = 4
Logo,
h = 4(63 - x)

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões para h:
2x = 4(63 - x)
Resolvendo,
2x = 252 - 4x Rightarrow 6x = 252 Rightarrow x = 42
Então
h = 2x = 2cdot 42 = 84

Resposta

84 m

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