Num triângulo retângulo, um dos catetos mede a terça parte da hipotenusa. Calcule a tangente do menor ângulo do triângulo.

Passo 1

O enunciado diz que em um triângulo retângulo um dos catetos mede a terça parte da hipotenusa e pede a tangente do ângulo agudo menor. Vamos usar trigonometria básica e o Teorema de Pitágoras para descobrir essa tangente.

Passo 2

Denotemos a hipotenusa por c e o cateto menor por a=tfracc3. O outro cateto, que chamaremos de b, é dado por Pitágoras:
Para encontrar b, aplicamos
b=raizc^2 - a^2=raizc^2 - l(tfracc3r)^2=raizc^2 - tfracc^29=craiz1-tfrac19=craiztfrac89=tfrac2raiz23,c,

Passo 3

Agora, o menor ângulo agudo é aquele oposto ao cateto a, pois a. A tangente desse ângulo theta é razão entre o cateto oposto e o adjacente:
tan(theta)=ab=tfracc3tfrac2raiz23c=12raiz2

Passo 4

Para simplificar, racionalizamos o denominador:
12raiz2=raiz22cdot 2=raiz24

Resposta

tfracraiz24

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