Um triângulo isósceles é tal que a medida dos ângulos de sua base é 30^circ. Se a altura relativa a essa base mede 1,5 cm, qual é o valor do perímetro, em centímetros, desse triângulo?

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo isósceles cujos ângulos da base valem 30° e a altura relativa à base mede 1,5 cm. O objetivo é achar o perímetro desse triângulo usando trigonometria em triângulos retângulos.

Passo 2

Ao traçar a altura AH desde o vértice A até o meio da base BC, o triângulo se divide em dois triângulos retângulos congruentes ABH e AHC. Em cada um deles, o ângulo em B (ou C) vale 30°, AH é cateto oposto a esse ângulo e AB (ou AC) é a hipotenusa.

Passo 3

Na definição de seno em triângulo retângulo, temos
sin 30° = AHAB
Como sin 30°=tfrac12 e AH=1,5, segue
tfrac12 = 1,5ABRightarrow AB = 1,51/2 = 3 cm

Passo 4

Para encontrar metade da base, usamos o cosseno:
cos 30° = BHAB
Como cos 30°=tfracraiz32 e AB=3, temos
BH = 3cdotraiz32 = 3raiz32
Logo a base inteira é
BC = 2,BH = 2cdot3raiz32 = 3raiz3

Passo 5

Finalmente, o perímetro é a soma dos três lados:
P = AB + AC + BC = 3 + 3 + 3raiz3 = 6 + 3raiz3 cm

Resposta

6 + 3\sqrt{3} cm

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