Dois planos infinitos, ambos paralelos ao plano x y, carregam densidade de corrente superficiais \vec{K}_{1}=K_{1} \vec{x} e \vec{K}_{2}=-K_{2} \vec{x}, onde K_{1}>0 e K_{2}>0. Determine o campo magnético nas regiões: (i) No interior dos dois planos, (ii) na região acima do plano superior (plano 1), e (iii) na região em baixo do plano inferior (plano 2). Em qual condição o campo magnético é nulo no interior do plano? Em qual condição o campo magnético é zero acima dos planos? E em baixo?

Passo 1

O enunciado pede o campo magnético gerado por dois planos infinitos paralelos ao plano xy, situados, digamos, em z=+a (plano 1) e em z=-a (plano 2). O plano 1 carrega densidade de corrente superficial \vec K_{1}=K_{1}\,\hat x e o plano 2 carrega \vec K_{2}=-K_{2}\,\hat x, com K_{1},K_{2}>0. Vamos usar o resultado padrão da magnetostática de que um plano infinito com densidade de corrente \vec K gera um campo constante de magnitude \mu_{0}|\vec K|/2 de cada lado, e aplicar superposição.

Passo 2

Para um único plano infinito com densidade de corrente \vec K e vetor normal unitário \hat n apontando para cima ( +z), o salto do campo é
\vec B_{\text{acima}}-\vec B_{\text{abaixo}} =\mu_{0}\,\vec K\times\hat n.
De simetria, \vec B tem módulo \mu_{0}|\vec K|/2 de cada lado e direção dada por \pm(\hat n\times\hat K).

Passo 3

Para o plano 1 em z=+a com \vec K_{1}=K_{1}\hat x e \hat n=+\hat z:
\hat z\times\hat x=\hat y, logo
\vec B_{1,\text{acima}}=-\frac{\mu_{0}K_{1}}{2}\,\hat y, \qquad \vec B_{1,\text{abaixo}}=+\frac{\mu_{0}K_{1}}{2}\,\hat y.

Passo 4

Para o plano 2 em z=-a com \vec K_{2}=-K_{2}\hat x e normal também \hat n=+\hat z:
\hat z\times(-\hat x)=-\,(\hat z\times\hat x)=+\hat y, então
\vec B_{2,\text{acima}}=+\frac{\mu_{0}K_{2}}{2}\,\hat y, \qquad \vec B_{2,\text{abaixo}}=-\frac{\mu_{0}K_{2}}{2}\,\hat y.

Passo 5

Somando \vec B=\vec B_{1}+\vec B_{2} em cada região:
(i) entre os planos ( -a<z<+a) todos estão “abaixo” de 1 e “acima” de 2:
\vec B_{\text{entre}} =\frac{\mu_{0}K_{1}}{2}\,\hat y +\frac{\mu_{0}K_{2}}{2}\,\hat y =\frac{\mu_{0}(K_{1}+K_{2})}{2}\,\hat y.
(ii) acima de z=+a: ambas contribuições “acima”:
\vec B_{\text{acima}} =-\frac{\mu_{0}K_{1}}{2}\,\hat y +\frac{\mu_{0}K_{2}}{2}\,\hat y =\frac{\mu_{0}(K_{2}-K_{1})}{2}\,\hat y.
(iii) abaixo de z=-a: ambas “abaixo”:
\vec B_{\text{abaixo}} =+\frac{\mu_{0}K_{1}}{2}\,\hat y -\frac{\mu_{0}K_{2}}{2}\,\hat y =\frac{\mu_{0}(K_{1}-K_{2})}{2}\,\hat y.

Passo 6

Condições para \vec B=0:
– No interior ( -a<z<+a) se e somente se
K_{1}+K_{2}=0.
– Acima ( z>+a) se e somente se
K_{2}-K_{1}=0\quad\Longleftrightarrow\quad K_{1}=K_{2}.
– Abaixo ( z<-a) se e somente se
K_{1}-K_{2}=0\quad\Longleftrightarrow\quad K_{1}=K_{2}.

Resposta

(i) \displaystyle \vec B_{\text{entre}}=\frac{\mu_{0}(K_{1}+K_{2})}{2}\,\hat y.
(ii) \displaystyle \vec B_{\text{acima}}=\frac{\mu_{0}(K_{2}-K_{1})}{2}\,\hat y.
(iii) \displaystyle \vec B_{\text{abaixo}}=\frac{\mu_{0}(K_{1}-K_{2})}{2}\,\hat y.
Condições de nulidade:
– Interior: K_{1}+K_{2}=0.
– Acima: K_{1}=K_{2}.
– Abaixo: K_{1}=K_{2}.

Exercícios relacionados