P2.1 Um cabo cilíndrico de raio R e comprimento infinito está carregado de tal modo que a densidade de carga tem simetria cilíndrica, ou seja, a densidade em um dado ponto à distância r do eixo do cilindro é \rho(r), uma função apenas de r.
(A) Mostre que a carga por unidade de comprimento do cilindro é
\lambda=\int_{0}^{R} \rho\left(r^{\prime}\right) 2 \pi r^{\prime} d r^{\prime}
(B) Mostre que o campo elétrico em um ponto no interior do cilindro vale
E=\frac{1}{\varepsilon_{o} r} \int_{0}^{r} \rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime} d r^{\prime},
e que fora do cilindro o campo vale
E=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{o} r} .

Passo 1

O enunciado nos dá um cilindro infinito de raio R com densidade volumétrica de carga que depende apenas da distância radial ao eixo: \rho=\rho(r). As perguntas claras são:
  • (A) Mostrar a expressão da carga por unidade de comprimento do cilindro, isto é \lambda.
  • (B) Determinar o campo elétrico E num ponto interior ao cilindro (distância ao eixo r com r<R) e num ponto exterior ( r>R).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O cilindro é infinito em comprimento (portanto resultados não dependem da coordenada axial).
  • Simetria cilíndrica: a densidade depende só de r.
  • Raio do cilindro: R.
  • Unidade e significado de \rho(r): é densidade volumétrica de carga (unidade \mathrm{C/m^3}), de modo que uma pequena parcela de carga vale \rho\,dV.

Passo 2

Vamos calcular a carga por unidade de comprimento \lambda. Estratégia: tomar um segmento de comprimento L do cilindro, calcular a carga total nesse segmento e dividir por L. Para escrever a carga total usamos coordenadas cilíndricas.
Elementos importantes e fórmulas que vou usar:
  • Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é \,dV = r'\, d\varphi\, dr'\, dz.
  • Para integrar em \varphi de 0 a 2\pi e em z de 0 a L, o elemento de volume combinado para um anel de raio r' e espessura dr' ao longo de comprimento L é
dV = 2\pi r'\, dr'\, L.
  • A carga contida nesse anel é dQ = \rho(r')\, dV = \rho(r')\, 2\pi r'\, dr'\, L.

Passo 3

Integrando todos os anéis desde o eixo ( r'=0) até a borda ( r'=R) obtemos a carga total em comprimento L:
Q_{\text{total}}(L)=\int_{0}^{R} \rho(r')\, 2\pi r'\, dr'\, L.
Logo a carga por unidade de comprimento, definida como \lambda = Q_{\text{total}}(L)/L, fica
\lambda=\int_{0}^{R} \rho(r')\, 2\pi r'\, dr',
que é exatamente a expressão pedida em (A). Aqui \,r' é variável de integração (distância radial do eixo) e \rho(r') é dada.

Passo 4

Agora vamos obter o campo elétrico usando a lei de Gauss. Primeiro explico a lei de Gauss na forma integral e o que cada símbolo significa:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor).
  • d\mathbf{A} é o vetor área apontando para fora da superfície fechada.
  • A integral \oint é a integral de fluxo elétrico sobre uma superfície fechada.
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume limitado pela superfície fechada.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante).
Por que usar a lei de Gauss aqui? A simetria cilíndrica garante que o campo elétrico tenha apenas componente radial E_r (ou seja, \mathbf{E}=E(r)\,\hat{\mathbf{r}}) e que, numa superfície cilíndrica coaxial ao condutor, E seja constante sobre a superfície lateral. Isso torna a integral de fluxo muito simples. Também, sobre as tampas (as faces planas) o vetor área é paralelo ao eixo enquanto \mathbf{E} é radial, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nas tampas.

Passo 5

Cálculo do campo para r<R (ponto interior).
Escolha de superfície de Gauss: cilindro coaxial de raio r e comprimento L.
  • Fluxo através da superfície lateral:
\oint_{\text{lateral}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\, (2\pi r L),
pois E(r) é constante na lateral e a área lateral é 2\pi r L.
  • Carga encerrada Q_{\text{enc}} é a carga do cilindro de raio r e comprimento L. Pelo mesmo raciocínio do Passo 2:
Q_{\text{enc}} = \int_{0}^{r} \rho(r')\, 2\pi r'\, dr'\, L.
Aplicando a lei de Gauss:
E(r)\, (2\pi r L) = \frac{1}{\varepsilon_0}\left(\int_{0}^{r} \rho(r')\, 2\pi r'\, dr'\, L\right).
Cancelando 2\pi L em ambos os lados:
E(r)\, r = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_{0}^{r} \rho(r')\, r'\, dr'.
Portanto, para r<R,
E(r)=\frac{1}{\varepsilon_0\, r}\int_{0}^{r} \rho(r')\, r'\, dr'.
Observação sobre direção: se \rho for positiva, \mathbf{E} aponta radialmente para fora; se \rho for negativa, aponta radialmente para dentro.

Passo 6

Cálculo do campo para r>R (ponto exterior).
Escolha de superfície de Gauss: cilindro coaxial de raio r>R e comprimento L.
Agora a carga encerrada é toda a carga do cilindro de raio R e comprimento L, isto é Q_{\text{enc}}=\lambda L, com \lambda obtida no Passo 3:
Q_{\text{enc}}=\lambda L = \left(\int_{0}^{R} \rho(r')\, 2\pi r'\, dr'\right) L.
Fluxo pela lateral é novamente E(r)\, 2\pi r L. Pela lei de Gauss:
E(r)\, (2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
Cancelando L e isolando E(r) obtemos, para r>R,
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0\, r}.
Isto é exatamente a forma do campo de uma linha infinita de carga com densidade linear \lambda.

Passo 7

Verificação rápida de continuidade na superfície ( r\to R^\pm): substituindo r=R na expressão interior dá
E(R^-)=\frac{1}{\varepsilon_0 R}\int_0^R \rho(r') r'\, dr' = \frac{1}{\varepsilon_0 R}\cdot\frac{\lambda}{2\pi},
e usando \lambda da Parte (A) mostra-se que isso coincide com E(R^+)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}. Assim não há salto no campo tangencial (o campo radial é contínuo aqui, como esperado para distribuição de volume sem densidade de superfície).

Resposta

\lambda=\int_{0}^{R} \rho\left(r^{\prime}\right) 2 \pi r^{\prime} d r^{\prime}
\displaystyle E(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0} r} \int_{0}^{r} \rho\left(r^{\prime}\right) r^{\prime} d r^{\prime}\quad(\text{para }r<R),\qquad \displaystyle E(r)=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}\quad(\text{para }r>R)

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