P2.1 Um cabo cilíndrico de raio
e comprimento infinito está carregado de tal modo que a densidade de carga tem simetria cilíndrica, ou seja, a densidade em um dado ponto à distância
do eixo do cilindro é
, uma função apenas de
.
(A) Mostre que a carga por unidade de comprimento do cilindro é
(B) Mostre que o campo elétrico em um ponto no interior do cilindro vale
e que fora do cilindro o campo vale
(A) Mostre que a carga por unidade de comprimento do cilindro é
Passo 1
O enunciado nos dá um cilindro infinito de raio
com densidade volumétrica de carga que depende apenas da distância radial ao eixo:
. As perguntas claras são:
- (A) Mostrar a expressão da carga por unidade de comprimento do cilindro, isto é
. - (B) Determinar o campo elétrico
num ponto interior ao cilindro (distância ao eixo com ) e num ponto exterior ( ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O cilindro é infinito em comprimento (portanto resultados não dependem da coordenada axial).
- Simetria cilíndrica: a densidade depende só de
. - Raio do cilindro:
. - Unidade e significado de
: é densidade volumétrica de carga (unidade ), de modo que uma pequena parcela de carga vale .
Passo 2
Vamos calcular a carga por unidade de comprimento
. Estratégia: tomar um segmento de comprimento
do cilindro, calcular a carga total nesse segmento e dividir por
. Para escrever a carga total usamos coordenadas cilíndricas.
Elementos importantes e fórmulas que vou usar:
- Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. - Para integrar em
de a e em de a , o elemento de volume combinado para um anel de raio e espessura ao longo de comprimento é
- A carga contida nesse anel é
Passo 3
Integrando todos os anéis desde o eixo (
) até a borda (
) obtemos a carga total em comprimento
:
Logo a carga por unidade de comprimento, definida como
, fica
que é exatamente a expressão pedida em (A). Aqui
é variável de integração (distância radial do eixo) e
é dada.
Passo 4
Agora vamos obter o campo elétrico usando a lei de Gauss. Primeiro explico a lei de Gauss na forma integral e o que cada símbolo significa:
-
é o campo elétrico (vetor). -
é o vetor área apontando para fora da superfície fechada. - A integral
é a integral de fluxo elétrico sobre uma superfície fechada. -
é a carga total contida no volume limitado pela superfície fechada. -
é a permissividade do vácuo (constante).
Por que usar a lei de Gauss aqui? A simetria cilíndrica garante que o campo elétrico tenha apenas componente radial
(ou seja,
) e que, numa superfície cilíndrica coaxial ao condutor,
seja constante sobre a superfície lateral. Isso torna a integral de fluxo muito simples. Também, sobre as tampas (as faces planas) o vetor área é paralelo ao eixo enquanto
é radial, então
nas tampas.
Passo 5
Cálculo do campo para
(ponto interior).
Escolha de superfície de Gauss: cilindro coaxial de raio
e comprimento
.
- Fluxo através da superfície lateral:
pois
é constante na lateral e a área lateral é
.
- Carga encerrada
é a carga do cilindro de raio e comprimento . Pelo mesmo raciocínio do Passo 2:
Aplicando a lei de Gauss:
Cancelando
em ambos os lados:
Portanto, para
,
Observação sobre direção: se
for positiva,
aponta radialmente para fora; se
for negativa, aponta radialmente para dentro.
Passo 6
Cálculo do campo para
(ponto exterior).
Escolha de superfície de Gauss: cilindro coaxial de raio
e comprimento
.
Agora a carga encerrada é toda a carga do cilindro de raio
e comprimento
, isto é
, com
obtida no Passo 3:
Fluxo pela lateral é novamente
. Pela lei de Gauss:
Cancelando
e isolando
obtemos, para
,
Isto é exatamente a forma do campo de uma linha infinita de carga com densidade linear
.
Passo 7
Verificação rápida de continuidade na superfície (
): substituindo
na expressão interior dá
e usando
da Parte (A) mostra-se que isso coincide com
. Assim não há salto no campo tangencial (o campo radial é contínuo aqui, como esperado para distribuição de volume sem densidade de superfície).