De dois pontos A e B, separados por 120 m em linha reta, um topógrafo observa um ponto C no topo de um morro com ângulos de elevação de 25^{\circ} (em A) e 35^{\circ} (em B). Determine a distância do ponto C até o solo (altura do morro) usando trigonometria.

Passo 1

O enunciado diz que dois pontos A e B no plano horizontal estão separados por 120,m e, vendo o topo C de um morro, formam ângulos de elevação de 25^\circ em A e 35^\circ em B. O conteúdo aqui é trigonometria em triângulos retângulos, usando a tangente para relacionar altura e distância horizontal.

Passo 2

Seja D a projeção de C sobre a reta AB. Nos triângulos retângulos ADC e BDC valem
\tan(25^\circ)=\frac{h}{AD} \quad\implies\quad AD=\frac{h}{\tan(25^\circ)},
\tan(35^\circ)=\frac{h}{BD} \quad\implies\quad BD=\frac{h}{\tan(35^\circ)},
onde h é a altura de C em relação ao solo.

Passo 3

Como D fica entre A e B, soma-se
AD + BD = AB = 120
ou seja,
\frac{h}{\tan(25^\circ)} + \frac{h}{\tan(35^\circ)} = 120 \quad\Longrightarrow\quad h\bigl(\cot(25^\circ)+\cot(35^\circ)\bigr)=120
\Longrightarrow\quad h = \frac{120}{\cot(25^\circ)+\cot(35^\circ)}.

Passo 4

Usando \tan(25^\circ)\approx0,4663 e \tan(35^\circ)\approx0,7002 resulta
\cot(25^\circ)\approx2,1445, \quad \cot(35^\circ)\approx1,4281,
h\approx\frac{120}{2,1445+1,4281}=\frac{120}{3,5726}\approx33,6\text{ m}.

Resposta

A altura do morro é aproximadamente 33,6 m.

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