Um topógrafo mede o topo de uma torre a partir de dois pontos A e B, distantes 20 m entre si na horizontal. O ângulo de elevação em A é de 50^{\circ} e em B é de 35^{\circ}. Calcule a altura da torre.

Passo 1

O enunciado diz que um topógrafo mede o topo de uma torre a partir de dois pontos A e B, distantes 20 m entre si na horizontal. Os ângulos de elevação são \,50^\circ em A e \,35^\circ em B.
Conteúdo: trigonometria em triângulos retângulos usando a razão trigonométrica da tangente.

Passo 2

Defina h como a altura da torre, x como a distância horizontal de A ao pé da torre e y como a distância horizontal de B ao pé da torre. Temos a relação
x + y = 20.

Passo 3

Pela definição de tangente em triângulo retângulo:
\tan(50^\circ) = \frac{h}{x} \quad\Longrightarrow\quad h = x\,\tan(50^\circ),
\tan(35^\circ) = \frac{h}{y} \quad\Longrightarrow\quad h = y\,\tan(35^\circ).

Passo 4

Igualando as duas expressões de h:
x\,\tan(50^\circ) = y\,\tan(35^\circ).
Como y = 20 - x, vem
x\,\tan(50^\circ) = (20 - x)\,\tan(35^\circ) \quad\Longrightarrow\quad x\bigl(\tan(50^\circ) + \tan(35^\circ)\bigr) = 20\,\tan(35^\circ)
\Longrightarrow\quad x = \frac{20\,\tan(35^\circ)}{\tan(50^\circ) + \tan(35^\circ)}.

Passo 5

Usando valores aproximados \tan(35^\circ)\approx0,7002 e \tan(50^\circ)\approx1,1918, obtemos
x \approx \frac{20\times0,7002}{1,1918 + 0,7002} \approx 7,40\text{ m}.
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h = x\,\tan(50^\circ) \approx 7,40\times1,1918 \approx 8,82\text{ m}.

Resposta

A altura da torre é aproximadamente 8,82 metros.

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