Um recipiente de 2 litros de capacidade, mantido a 25^{\circ} \mathrm{C}, contém ar sob pressão de 3 atmosferas. No recipiente existe um orifício de pequeno diâmetro através do qual o ar pode efundir. Calcule a composição da primeira mistura que efunde nestas condições. A composição inicial do ar, em volume, é: oxigênio 19 \%, nitrogênio 80 \% e argônio 1 \%.

Passo 1

O enunciado dá um recipiente de 2 litros, a 25^{\circ}\mathrm{C} e pressão de 3 atmosferas, com um orifício pequeno por onde o ar pode efundir. A composição inicial do ar, em volume, é:
\text{oxigênio } 19\%,\quad \text{nitrogênio } 80\%,\quad \text{argônio } 1\%.êêô
O que se pede: calcular a composição da primeira mistura que efunde (ou seja, a composição do fluxo inicial que sai pelo orifício).

Passo 2

Entendimento físico e escolha do método (por que usar este método).
Quando um gás escapa por um orifício de diâmetro pequeno (efusão), as moléculas mais rápidas passam com maior frequência. A partir da teoria cinética dos gases chega-se à Lei de Graham para efusão: a taxa de efusão de uma espécie é proporcional à sua fração molar e à velocidade média das moléculas; a velocidade média (para mesma temperatura) é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa molar. Portanto a composição do fluxo inicial não é igual à composição do volume do recipiente: as espécies mais leves aparecem em proporção maior no gás efundido. Usaremos esta relação direta (Lei de Graham) porque o enunciado descreve um orifício pequeno e condição de efusão.

Passo 3

Formulação matemática do método.
Seja x_i a fração molar inicial da espécie i no interior do recipiente e M_i sua massa molar (g·mol^{-1}). A taxa de efusão relativa (proporcionalidade) é
r_i \propto x_i\frac{1}{\sqrt{M_i}}.
A fração molar y_i da espécie i no gás que efunde primeiro é dada por
y_i=\frac{x_i/\sqrt{M_i}}{\displaystyle\sum_j x_j/\sqrt{M_j}}.
Aqui x_i é conhecida (volume% = fração molar para gases ideais) e M_i será a massa molar de cada gás.

Passo 4

Converter porcentagens em frações molares e listar massas molares usadas.
Como o enunciado deu composição em volume, para gases ideais volume% = fração molar. Então:
x_{\mathrm{O}_2}=0,19,\quad x_{\mathrm{N}_2}=0,80,\quad x_{\mathrm{Ar}}=0,01.
Usaremos massas molares aproximadas:
M_{\mathrm{O}_2}=32\\ (\text{g·mol}^{-1}),\quad M_{\mathrm{N}_2}=28\\ (\text{g·mol}^{-1}),\quad M_{\mathrm{Ar}}=40\\ (\text{g·mol}^{-1}).

Passo 5

Calcular os fatores 1/\sqrt{M_i} e os termos x_i/\sqrt{M_i}.
Primeiro os inversos das raízes:
\frac{1}{\sqrt{M_{\mathrm{O}_2}}}=\frac{1}{\sqrt{32}}=0{,}1767766953,
\frac{1}{\sqrt{M_{\mathrm{N}_2}}}=\frac{1}{\sqrt{28}}=0{,}1889822365,
\frac{1}{\sqrt{M_{\mathrm{Ar}}}}=\frac{1}{\sqrt{40}}=0{,}1581138830.
Agora multiplicamos por x_i:
\frac{x_{\mathrm{O}_2}}{\sqrt{M_{\mathrm{O}_2}}}=0{,}19\times 0{,}1767766953=0{,}0335875721,
\frac{x_{\mathrm{N}_2}}{\sqrt{M_{\mathrm{N}_2}}}=0{,}80\times 0{,}1889822365=0{,}1511857892,
\frac{x_{\mathrm{Ar}}}{\sqrt{M_{\mathrm{Ar}}}}=0{,}01\times 0{,}1581138830=0{,}0015811388.

Passo 6

Somar os termos e obter as frações do fluxo efundido.
Soma dos termos:
S=0{,}0335875721+0{,}1511857892+0{,}0015811388=0{,}1863545001.
Agora as frações y_i:
y_{\mathrm{O}_2}=\frac{0{,}0335875721}{0{,}1863545001}=0{,}180205150\approx 0{,}1802,
y_{\mathrm{N}_2}=\frac{0{,}1511857892}{0{,}1863545001}=0{,}811308342\approx 0{,}8113,
y_{\mathrm{Ar}}=\frac{0{,}0015811388}{0{,}1863545001}=0{,}008486508\approx 0{,}00849.
Convertendo para porcentagens (multiplicar por 100\%):
y_{\mathrm{O}_2}=18{,}02\%,\quad y_{\mathrm{N}_2}=81{,}13\%,\quad y_{\mathrm{Ar}}=0{,}85\%.

Passo 7

Interpretação curta e dica para prova.
Resultado: o nitrogênio, sendo o gás mais leve entre os três, aparece em proporção ligeiramente maior no fluxo que efunde; os gases mais pesados aparecem em proporção um pouco menor. Para fazer essa conta rápido na prova: use diretamente a fórmula \;y_i\propto x_i/\sqrt{M_i}\; e normalize dividindo pela soma dos termos.

Resposta

\mathrm{O_2}: 18{,}02\%
\mathrm{N_2}: 81{,}13\%
\mathrm{Ar}: 0{,}85\%

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