Um múon é criado a uma altura de 55,0 \mathrm{~km} acima da superfície da Terra (medida em relação a um observador na superfície da Terra). A vida média de um múon, medida em seu próprio sistema de referência é aproximadamente igual a 2,20 \times 10^{-6} s. O múon considerado aqui possui essa vida média. No sistema de referência do múon, a Terra se aproxima do múon com velocidade igual a 0,9860 c. (a) Para o sistema de referência do múon, qual é a sua altura inicial acima da superfície da Terra? (b) Para o sistema de referência do múon, qual é a distância entre a Terra e o múon durante a vida média do múon? Que fração essa distância representa em relação à altura inicial medida no sistema de referência do múon? (c) No sistema de referência da Terra, qual é a vida média do múon? No sistema de referência da Terra, qual é a distância percorrida pelo múon durante sua vida média? Que fração essa distância representa em relação à altura inicial do múon medida no sistema de referência da Terra?

Passo 1

O enunciado trata de um múon criado a uma altura de 55{,}0\\ \mathrm{km} no referencial da Terra, com vida média própria (própria ao múon) \tau_{0}=2{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{s}. No referencial do múon, a Terra aproxima-se com velocidade v=0,9860\,c. Precisamos usar:
– Contração de comprimentos para achar a altura inicial no referencial do múon.
– No referencial do múon, distância percorrida pela Terra em \tau_{0}.
– Dilatação de tempo para achar a vida média no referencial da Terra e daí a distância percorrida pelo múon.

Passo 2

Vamos primeiro calcular o fator de Lorentz
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}
onde \beta=v/c=0,9860. Assim
1-\beta^{2}=1-(0,9860)^{2}=0,027804,
\sqrt{1-\beta^{2}}=0,16672,
\gamma=\frac{1}{0,16672}\approx5{,}997\approx6{,}00.

Passo 3

(a) No referencial do múon, a altura inicial sofre contração:
L=\frac{L_{0}}{\gamma} =\frac{55{,}0\\ \mathrm{km}}{6{,}00}\approx9{,}17\\ \mathrm{km}.

Passo 4

(b) Ainda no referencial do múon, em sua própria vida média \tau_{0} a Terra percorre
d=v\,\tau_{0}=0,986\,c\times2{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{s} \approx652\\ \mathrm{m}=0{,}652\\ \mathrm{km}.
A fração dessa distância em relação à altura inicial no referencial do múon é
\frac{0{,}652}{9{,}17}\approx0{,}0711\quad(7{,}11\%).

Passo 5

(c) No referencial da Terra a vida média do múon dilata-se:
\Delta t=\gamma\,\tau_{0} =6{,}00\times2{,}20\times10^{-6}\\ \mathrm{s} \approx1{,}32\times10^{-5}\\ \mathrm{s}.
Em \Delta t o múon, viajando a v=0,986\,c, percorre
d_{0}=v\,\Delta t \approx0,986\,c\times1{,}32\times10^{-5}\\ \mathrm{s} \approx3{,}90\\ \mathrm{km}.
A fração dessa distância em relação à altura inicial de 55{,}0\\ \mathrm{km} é
\frac{3{,}90}{55{,}0}\approx0{,}0711\quad(7{,}11\%).

Resposta

(a) 9{,}17\\ \mathrm{km}.
(b) 0{,}652\\ \mathrm{km}, que é 7{,}11\% da altura inicial no referencial do múon.
(c) Vida média no referencial da Terra 1{,}32\times10^{-5}\\ \mathrm{s}; distância percorrida 3{,}90\\ \mathrm{km}, que é 7{,}11\% da altura inicial de 55{,}0\\ \mathrm{km}.

Exercícios relacionados