Questão 1: Um escoamento com velocidade constante, bidimensional e incompressível possul o seguinte campoem coordendas cartesias cartesianas:
\begin{aligned} & u=C y /(x 2+y 2) \\\ & v=-C x /(x 2+y 2) \end{aligned}
onde C é uma constante. Prove que esse escoamento é possível.

Passo 1

O enunciado nos dá um escoamento bidimensional, estacionário e incompressível cujo campo de velocidade em coordenadas cartesianas é
u = \frac{C\,y}{x^2 + y^2}, \qquad v = -\,\frac{C\,x}{x^2 + y^2},
onde C é uma constante. Para mostrar que esse escoamento é “possível” (isto é, compatível com a condição de incompressibilidade), basta verificar que ele satisfaz a equação da continuidade
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}. Como
u(x,y) = \frac{C\,y}{x^2 + y^2},
temos
\frac{\partial u}{\partial x} = C\,y \,\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl((x^2 + y^2)^{-1}\Bigr) = C\,y \bigl(-1\bigr)(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2x = -\,\frac{2C\,x\,y}{(x^2 + y^2)^2}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}. Como
v(x,y) = -\,\frac{C\,x}{x^2 + y^2},
temos
\frac{\partial v}{\partial y} = -\,C\,x \,\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl((x^2 + y^2)^{-1}\Bigr) = -\,C\,x \bigl(-1\bigr)(x^2+y^2)^{-2}\cdot 2y = \frac{2C\,x\,y}{(x^2 + y^2)^2}.
Somando as duas derivadas:
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{2C\,x\,y}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2C\,x\,y}{(x^2 + y^2)^2} = 0.

Resposta

O campo de velocidade satisfaz
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0,
logo é de fato incompressível e o escoamento é possível.

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