Dois satélites, A e B, ambos de massa m, estão em órbita circular em torno da Terra. O satélite A orbita a uma altitude de 6.370 km e o satélite B a uma altitude de 19.110 km . O raio da Terra é de 6.370 km . Qual é a razão entre a energia cinética do satélite B e a do satélite A?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Tem dois satélites A e B, cada um com massa , em órbitas circulares ao redor da Terra.
  • Satélite A está a 6 370 km de altitude.
  • Satélite B está a 19 110 km de altitude.
  • O raio da Terra é 6 370 km.
O que a questão quer? A razão entre as energias cinéticas de B e A, ou seja, .
Esse problema é de mecânica orbital (força gravitacional + energia cinética). Vamos precisar:
  1. saber que num satélite em órbita circular a força gravitacional faz o papel de força centrípeta;
  2. deduzir a velocidade orbital usando ;
  3. usar a fórmula da energia cinética .

Passo 2

Calcular o raio da órbita de cada satélite:
  • Raio de A: rA = Roplus + a
  • Raio de B: rB = Roplus + a

Passo 3

Em órbita circular, a força gravitacional G M mr^2 = m v^2r Longrightarrow v^2 = G Mr fornece a força centrípeta K = tfrac12 m v^2 = tfrac12 m ,G Mr = G M m2,r . Igualando:
Logo, a energia cinética de um satélite é
Repare que depende de .

Passo 4

Queremos a razão
KBKA = G M m2,rBG M m2,rA = rArB
Substituindo os valores dos raios:
KBKA = 1274025480 = 0,5

Resposta

A razão entre a energia cinética do satélite B e a do satélite A é .

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