Em uma indústria química, os engenheiros desejam saber se o alongamento (cm) de um composto de borracha permanece inalterado ao passar por uma máquina extrusora. Como o alongamento do composto depende do lote de matéria-prima usado na sua confecção, os dados foram coletados aos pares. A que conclusão se pode chegar a partir desses dados, com alpha=0,05 ?
Lote 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 360 370 380 345 365 380 390 395 385 410
Depois 360 365 355 340 350 370 390 375 375 395

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se o alongamento da borracha muda quando passa pela máquina extrusora. Isso tem a ver com estatística, especificamente com testes de hipóteses para amostras pareadas. Vamos precisar comparar os valores de “Antes” e “Depois” para cada lote e ver se a diferença média é significativa usando um nível de confiança de 5% (α = 0,05).

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): Não há diferença no alongamento antes e depois da máquina (a média das diferenças é igual a zero).
  • Hipótese Alternativa (H₁): Há diferença no alongamento antes e depois da máquina (a média das diferenças não é igual a zero).

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença entre “Antes” e “Depois” para cada lote:
Lote Antes Depois Diferença (Antes - Depois)
1 360 360 0
2 370 365 5
3 380 355 25
4 345 340 5
5 365 350 15
6 380 370 10
7 390 390 0
8 395 375 20
9 385 375 10
10 410 395 15

Passo 4

Vamos calcular a média dessas diferenças:
Média das diferenças (bard) = 0 + 5 + 25 + 5 + 15 + 10 + 0 + 20 + 10 + 1510 = 10510 = 10,5 , cm éç

Passo 5

Agora, calculamos o desvio padrão das diferenças. Primeiro, encontramos cada diferença menos a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos por (n-1):
(-10,5)^2 &= 110,25 (-5,5)^2 &= 30,25 14,5^2 &= 210,25 (-5,5)^2 &= 30,25 4,5^2 &= 20,25 (-0,5)^2 &= 0,25 (-10,5)^2 &= 110,25 9,5^2 &= 90,25 (-0,5)^2 &= 0,25 4,5^2 &= 20,25
Somando tudo: $ 110,25 + 30,25 + 210,25 + 30,25 + 20,25 + 0,25 + 110,25 + 90,25 + 0,25 + 20,25 = 622,5 $
Então, a variância:
110,25 + 30,25 + 210,25 + 30,25 + 20,25 + 0,25 + 110,25 + 90,25 + 0,25 + 20,25 = 622,5
E o desvio padrão:
sd^2 = 622,59 approx 69,17

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão da média das diferenças:
SE = sdraizn = 8,31raiz10 approx 2,63
Agora, o valor t:
t = bardSE = 10,52,63 approx 4,00

Passo 7

Consultando a tabela t para 9 graus de liberdade (n-1 = 10-1) e α = 0,05 (teste bicaudal), o valor crítico de t é aproximadamente 2,262.

Passo 8

Comparando o valor calculado de t (4,00) com o valor crítico (2,262):
4,00 > 2,262
Como o valor calculado é maior que o crítico, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Há evidências estatísticas suficientes para concluir que o alongamento do composto de borracha muda ao passar pela máquina extrusora, com um nível de confiança de 95%.

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