Em uma indústria química, os engenheiros desejam saber se o alongamento (cm) de um composto de borracha permanece inalterado ao passar por uma máquina extrusora. Como o alongamento do composto depende do lote de matéria-prima usado na sua confecção, os dados foram coletados aos pares. A que conclusão se pode chegar a partir desses dados, com
?
Lote | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Antes | 360 | 370 | 380 | 345 | 365 | 380 | 390 | 395 | 385 | 410 |
Depois | 360 | 365 | 355 | 340 | 350 | 370 | 390 | 375 | 375 | 395 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer saber se o alongamento da borracha muda quando passa pela máquina extrusora. Isso tem a ver com estatística, especificamente com testes de hipóteses para amostras pareadas. Vamos precisar comparar os valores de “Antes” e “Depois” para cada lote e ver se a diferença média é significativa usando um nível de confiança de 5% (α = 0,05).
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses:
- Hipótese Nula (H₀): Não há diferença no alongamento antes e depois da máquina (a média das diferenças é igual a zero).
- Hipótese Alternativa (H₁): Há diferença no alongamento antes e depois da máquina (a média das diferenças não é igual a zero).
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença entre “Antes” e “Depois” para cada lote:
Lote | Antes | Depois | Diferença (Antes - Depois) |
---|---|---|---|
1 | 360 | 360 | 0 |
2 | 370 | 365 | 5 |
3 | 380 | 355 | 25 |
4 | 345 | 340 | 5 |
5 | 365 | 350 | 15 |
6 | 380 | 370 | 10 |
7 | 390 | 390 | 0 |
8 | 395 | 375 | 20 |
9 | 385 | 375 | 10 |
10 | 410 | 395 | 15 |
Passo 4
Vamos calcular a média dessas diferenças:
Passo 5
Agora, calculamos o desvio padrão das diferenças. Primeiro, encontramos cada diferença menos a média, elevamos ao quadrado, somamos tudo e dividimos por (n-1):
Somando tudo: $ 110,25 + 30,25 + 210,25 + 30,25 + 20,25 + 0,25 + 110,25 + 90,25 + 0,25 + 20,25 = 622,5 $
Então, a variância:
E o desvio padrão:
Passo 6
Vamos calcular o erro padrão da média das diferenças:
Agora, o valor t:
Passo 7
Consultando a tabela t para 9 graus de liberdade (n-1 = 10-1) e α = 0,05 (teste bicaudal), o valor crítico de t é aproximadamente 2,262.
Passo 8
Comparando o valor calculado de t (4,00) com o valor crítico (2,262):
Como o valor calculado é maior que o crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Há evidências estatísticas suficientes para concluir que o alongamento do composto de borracha muda ao passar pela máquina extrusora, com um nível de confiança de 95%.