A velocidade v de propagação do som em um fluido ideal pode depender da pressão P e da densidade \rho do fluido. Assuma que a relação seja da forma v=P^{x} \cdot \rho^{y}, onde x e y são expoentes adimensionais. Sabendo que Pressão é Força/Área ( [P]=M \cdot L^{-1} \cdot T^{-2} ), encontre os valores de x e y.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado fornece a relação funcional assumida: v = P^{x}\cdot \rho^{y}, onde x e y são expoentes adimensionais a determinar.
  • São dadas as dimensões da pressão: [P]=M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}.
  • A densidade tem dimensões conhecidas: [\rho]=M\cdot L^{-3}.
  • A velocidade tem dimensões conhecidas: [v]=L\cdot T^{-1}.
  • O que o problema pede: encontrar os valores numéricos de x e y que tornam a igualdade dimensionalmente consistente.

Passo 2

Explicação rápida do que vamos usar (porque às vezes isso assusta, mas é simples): qualquer igualdade física deve ter as mesmas dimensões em ambos os lados. Então vou escrever as dimensões do lado direito da igualdade P^{x}\rho^{y} e igualar aos expoentes das dimensões de v.
Escrevendo as dimensões de cada termo:
[v]=L\cdot T^{-1}
[P]^{x}=(M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2})^{x}=M^{x}\cdot L^{-x}\cdot T^{-2x}
[\rho]^{y}=(M\cdot L^{-3})^{y}=M^{y}\cdot L^{-3y}

Passo 3

Combino as dimensões do lado direito multiplicando as potências:
[P]^{x}[\rho]^{y}=M^{x+y}\cdot L^{-x-3y}\cdot T^{-2x}.
Agora imponho que isso tenha as mesmas potências de M, L e T que [v]=L\cdot T^{-1}. Ou seja, comparando expoentes:
  • Para M: 0 = x+y.
  • Para L: 1 = -x - 3y.
  • Para T: -1 = -2x.

Passo 4

Resolvo o sistema começando pela equação do tempo (porque é a mais simples):
-1 = -2x \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Com x=\tfrac{1}{2}, uso a equação de M:
0 = x + y \quad\Rightarrow\quad y = -x = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Faço uma checagem usando a equação do comprimento L para garantir consistência:
-x-3y = -\tfrac{1}{2}-3\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} = 1,
que coincide com o lado esquerdo que exige 1. Tudo consistente.

Passo 6

Interpretação final e pequena intuição física (útil para a prova): os expoentes obtidos são x=\tfrac{1}{2} e y=-\tfrac{1}{2}. Isso significa que a dependência dimensional é
v = P^{1/2}\rho^{-1/2} = \sqrt{\dfrac{P}{\rho}}.
Essa forma é razoável fisicamente: velocidade cresce com pressão e diminui com densidade. Na termodinâmica de gases ideais aparece uma forma parecida v=\sqrt{\gamma P/\rho}, onde \gamma é adimensional; aqui, pela análise dimensional, só se determina a razão P/\rho sob a raiz, não o fator adimensional \gamma.
Força e ânimo: você já dominou a técnica basicona de análise dimensional — ótima ferramenta para prova!

Resposta

x=\tfrac{1}{2},\; y=-\tfrac{1}{2}

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