A velocidade
de propagação do som em um fluido ideal pode depender da pressão
e da densidade
do fluido. Assuma que a relação seja da forma
, onde
e
são expoentes adimensionais. Sabendo que Pressão é Força/Área (
), encontre os valores de
e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado fornece a relação funcional assumida:
, onde e são expoentes adimensionais a determinar. - São dadas as dimensões da pressão:
. - A densidade tem dimensões conhecidas:
. - A velocidade tem dimensões conhecidas:
. - O que o problema pede: encontrar os valores numéricos de
e que tornam a igualdade dimensionalmente consistente.
Passo 2
Explicação rápida do que vamos usar (porque às vezes isso assusta, mas é simples): qualquer igualdade física deve ter as mesmas dimensões em ambos os lados. Então vou escrever as dimensões do lado direito da igualdade
e igualar aos expoentes das dimensões de
.
Escrevendo as dimensões de cada termo:
Passo 3
Combino as dimensões do lado direito multiplicando as potências:
Agora imponho que isso tenha as mesmas potências de
,
e
que
. Ou seja, comparando expoentes:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 4
Resolvo o sistema começando pela equação do tempo (porque é a mais simples):
Com
, uso a equação de
:
Passo 5
Faço uma checagem usando a equação do comprimento
para garantir consistência:
que coincide com o lado esquerdo que exige
. Tudo consistente.
Passo 6
Interpretação final e pequena intuição física (útil para a prova): os expoentes obtidos são
e
. Isso significa que a dependência dimensional é
Essa forma é razoável fisicamente: velocidade cresce com pressão e diminui com densidade. Na termodinâmica de gases ideais aparece uma forma parecida
, onde
é adimensional; aqui, pela análise dimensional, só se determina a razão
sob a raiz, não o fator adimensional
.
Força e ânimo: você já dominou a técnica basicona de análise dimensional — ótima ferramenta para prova!