A função de posição de um móvel é um arco de parábola dado por x(t)=2 t^{2}-t. Calcule a velocidade média no intervalo entre t=1 \mathrm{~s} e t=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a função de posição e o intervalo de tempo a considerar. Informação disponível:
  • A função de posição é x(t)=2 t^{2}-t.
  • O intervalo de tempo pedido é entre t=1\\ \mathrm{s} e t=3\\ \mathrm{s}.
O que o problema pede:
  • Calcular a velocidade média do móvel no intervalo de tempo [1\\ \mathrm{s},\,3\\ \mathrm{s}].

Passo 2

Definição e fórmula útil (aulas rápidas e práticas).
  • A velocidade média em um intervalo de tempo é a variação da posição dividida pela variação do tempo. Em fórmula:
v_{\mathrm{m}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1},
onde:
  • v_{\mathrm{m}} é a velocidade média no intervalo [t_1,t_2],
  • x(t) é a função de posição (unidades de posição, por exemplo metros),
  • t_1 e t_2 são os instantes inicial e final (unidades de tempo, por exemplo segundos),
  • \Delta x=x(t_2)-x(t_1) é a variação de posição,
  • \Delta t=t_2-t_1 é a duração do intervalo.
Interpretação física rápida: essa fórmula dá a “inclinação média” da curva x(t) entre os dois instantes — é a velocidade média (média do deslocamento por tempo), não a velocidade em cada instante.

Passo 3

Calcular as posições nos extremos do intervalo substituindo na função x(t).
Calcular x(1):
x(1)=2\cdot 1^{2}-1=2\cdot 1-1=2-1=1.
Calcular x(3):
x(3)=2\cdot 3^{2}-3=2\cdot 9-3=18-3=15.

Passo 4

Calcular a variação de posição e a variação de tempo:
\Delta x = x(3)-x(1)=15-1=14,
\Delta t = 3-1=2.
Aplicando a fórmula da velocidade média obtemos a razão
v_{\mathrm{m}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{14}{2}.

Passo 5

Checagem conceitual (dá confiança na resposta): a velocidade instantânea é a derivada de x(t). Calcular v(t)=x'(t):
v(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t^{2}-t\bigr)=4t-1.
Valores instantâneos nas extremidades:
v(1)=4\cdot 1-1=3, \qquad v(3)=4\cdot 3-1=11.
Como v(t) é uma função linear em t, a velocidade média sobre [1,3] fica entre v(1)=3 e v(3)=11, então a razão encontrada em \dfrac{14}{2} faz sentido.

Resposta

7\\ \mathrm{m/s}

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