Um vetor B, cujo módulo é 8,0 m, é somado a um vetor A, que coincide com o eixo x. A soma dos dois vetores é um vetor que coincide com o eixo y e cujo módulo é duas vezes maior que o módulo de A. Qual é o módulo de A?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem dois vetores: o vetor B, que tem módulo 8,0 metros, e o vetor A, que está alinhado com o eixo x. Quando somamos esses dois vetores, o resultado fica só na direção do eixo y e esse resultado tem um módulo que é o dobro do módulo de A. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o módulo de A. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de adição de vetores e o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar isso para visualizar melhor. Imagine o vetor A apontando para a direita no eixo x. O vetor B tem uma direção que não está alinhada apenas com o eixo x ou y; ele faz um ângulo qualquer. Quando somamos A e B, o vetor resultante aponta apenas para cima no eixo y e tem o dobro do comprimento de A.

Passo 3

Vamos representar os vetores com coordenadas. Como A está no eixo x, podemos escrever A como (a, 0), onde “a” é o módulo de A que queremos encontrar.

Passo 4

O vetor B vai ter componentes no eixo x e y, então podemos escrever B como (bₓ, b_y). Sabemos que o módulo de B é 8,0 metros, então:
bₓ² + by² = 8² = 64 ²²²

Passo 5

Quando somamos A e B, o resultado é um vetor no eixo y com módulo 2a. Então, a soma dos vetores fica:
(a + bₓ, 0 + by) = (0, 2a)
Isso significa que a componente x da soma é zero e a componente y é 2a.

Passo 6

Da componente x, temos:
a + bₓ = 0 implies bₓ = -a
Da componente y, temos:
by = 2a

Passo 7

Agora, substituímos bₓ = -a e by = 2a na equação do módulo de B:
(-a)^2 + (2a)^2 = 64
Simplificando:
a² + 4a² = 64 implies 5a² = 64 implies a² = 645 implies a = raiz645 = 8raiz5 ²²²²

Resposta

O módulo de A é 8raiz5 , m, ou aproximadamente 3,58 metros.

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