Seja ( G, * ) um grupo. Demonstre que:
(Lei do cancelamento) Se a, b, c in G e a * b=a * c, então b=c.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo (G, *) e queremos provar a Lei do Cancelamento: se a * b = a * c, então b = c. Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos, como a existência de inversos e a propriedade associativa. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um grupo todo elemento a tem um inverso, denotado por a^-1, tal que a * a^-1 = a^-1 * a = e, onde e é o elemento neutro do grupo.

Passo 3

Dado que a * b = a * c, nosso objetivo é isolar b e c. Para isso, vamos “cancelar” o a que está na frente. Como grupos têm inversos, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade pela inversa de a.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pela inversa de a à esquerda, temos:
a^-1 * (a * b) = a^-1 * (a * c)
Aqui, usamos a propriedade associativa do grupo para reordenar os parênteses.

Passo 5

Aplicando a associatividade:
(a^-1 * a) * b = (a^-1 * a) * c
Sabemos que a^-1 * a = e, o elemento neutro.

Passo 6

Substituindo:
e * b = e * c
E sabemos que e * b = b e e * c = c, pois e é o neutro.

Passo 7

Portanto:
b = c
Chegamos à conclusão que, se a * b = a * c, então b deve ser igual a c.

Resposta

Assim, demonstramos que em um grupo (G, *), se a * b = a * c, então b = c, comprovando a Lei do Cancelamento.

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