Seja (
) um grupo. Demonstre que:
(Lei do cancelamento) Se
, então
.
(Lei do cancelamento) Se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um grupo
e queremos provar a Lei do Cancelamento: se
, então
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos, como a existência de inversos e a propriedade associativa. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um grupo todo elemento
tem um inverso, denotado por
, tal que
, onde
é o elemento neutro do grupo.
Passo 3
Dado que
, nosso objetivo é isolar
e
. Para isso, vamos “cancelar” o
que está na frente. Como grupos têm inversos, podemos multiplicar ambos os lados da igualdade pela inversa de
.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados pela inversa de
à esquerda, temos:
Aqui, usamos a propriedade associativa do grupo para reordenar os parênteses.
Passo 5
Aplicando a associatividade:
Sabemos que
, o elemento neutro.
Passo 6
Substituindo:
E sabemos que
e
, pois
é o neutro.
Passo 7
Portanto:
Chegamos à conclusão que, se
, então
deve ser igual a
.
Resposta
Assim, demonstramos que em um grupo
, se
, então
, comprovando a Lei do Cancelamento.