Seja (
) um grupo. Demonstre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, em um grupo
, se tivermos elementos
de
que satisfazem a equação
, então podemos expressar
como
. Aqui,
representa o inverso de
no grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades básicas de grupos, especialmente a existência de inversos.
Passo 2
Primeiro, lembra que um grupo
é um conjunto onde a operação
satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para cada elemento. Aqui, vamos focar na propriedade dos inversos.
Passo 3
A propriedade dos inversos diz que para todo elemento
em
, existe um elemento
em
tal que:
onde
é o elemento neutro do grupo (aquele que não muda o elemento quando operado, ou seja,
).
Passo 4
Agora, partindo da equação dada no problema:
Queremos isolar
. Para fazer isso, vamos “desfazer” a operação
aplicando o inverso de
.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação por
(o inverso de
):
Por associatividade, podemos reescrever o lado esquerdo:
Passo 6
Sabemos que
(definição de inverso). Então:
E como
é o elemento neutro:
Resposta
Assim, mostramos que
.