Seja ( G, * ) um grupo. Demonstre que:
Se a, b, c in G e a * c=b, então c=a^prime * b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, em um grupo (G, *) , se tivermos elementos a, b, c de G que satisfazem a equação a * c = b , então podemos expressar c como a' * b . Aqui, a' representa o inverso de a no grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender as propriedades básicas de grupos, especialmente a existência de inversos.

Passo 2

Primeiro, lembra que um grupo (G, *) é um conjunto onde a operação * satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos para cada elemento. Aqui, vamos focar na propriedade dos inversos.

Passo 3

A propriedade dos inversos diz que para todo elemento a em G , existe um elemento a' em G tal que:
a * a' = e
onde e é o elemento neutro do grupo (aquele que não muda o elemento quando operado, ou seja, a * e = e * a = a ).

Passo 4

Agora, partindo da equação dada no problema:
a * c = b
Queremos isolar c . Para fazer isso, vamos “desfazer” a operação a * c aplicando o inverso de a .

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação por a' (o inverso de a ):
a' * (a * c) = a' * b
Por associatividade, podemos reescrever o lado esquerdo:
(a' * a) * c = a' * b

Passo 6

Sabemos que a' * a = e (definição de inverso). Então:
e * c = a' * b
E como e é o elemento neutro:
c = a' * b

Resposta

Assim, mostramos que c = a' * b .

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