Dois vetores de módulos a e b fazem um ângulo \theta entre si. Prove, considerando os componentes escalares ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo da resultante dos dois vetores é:
r=\sqrt{\left(a^{2}+b^{2}+2 a b \cos \theta\right)}

Passo 1

Temos dois vetores de módulos a e b que formam um ângulo \theta entre si. Para encontrar o módulo da soma desses vetores, vamos projetá-los em dois eixos perpendiculares (x e y) e usar o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Escolhendo o eixo x alinhado com o primeiro vetor, sua representação em coordenadas é
\vec A = (a,\,0).
O segundo vetor, que faz ângulo \theta com o eixo x, fica
\vec B = \bigl(b\cos\theta,\;b\sin\theta\bigr).

Passo 3

A soma vetorial \vec R = \vec A + \vec B tem componentes
\vec R = \bigl(a + b\cos\theta,\;b\sin\theta\bigr).

Passo 4

O módulo de \vec R vem do Teorema de Pitágoras aplicado às suas componentes ortogonais:
r = \bigl\lvert \vec R\bigr\rvert = \sqrt{\,(a + b\cos\theta)^{2} \;+\;(b\sin\theta)^{2}\,}.

Passo 5

Expandindo dentro da raiz:
(a + b\cos\theta)^{2} + b^{2}\sin^{2}\theta = a^{2} + 2ab\cos\theta + b^{2}\cos^{2}\theta + b^{2}\sin^{2}\theta.
Como \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1, isso se simplifica para
a^{2} + 2ab\cos\theta + b^{2}.
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r = \sqrt{\,a^{2} + b^{2} + 2ab\cos\theta\,}.

Resposta

r = \sqrt{\bigl(a^{2} + b^{2} + 2ab\cos\theta\bigr)}.

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