Duas partículas, ambas com uma carga de valor absoluto 12 nC , ocupam dois vértices de um triângulo equilátero com 2 cm de lado. Determine o módulo do campo elétrico no terceiro vértice (a) se as duas cargas forem positivas; (b) se uma das cargas for positiva e a outra for negativa.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Duas partículas ocupam dois vértices de um triângulo equilátero de lado
. - O valor absoluto da carga em cada partícula é
(ou seja, ). - O ponto onde queremos o campo elétrico é o terceiro vértice do triângulo (o vértice que não tem carga).
- Perguntas:
(a) Determinar o módulo do campo elétrico no terceiro vértice se as duas cargas forem positivas.
(b) Determinar o módulo do campo elétrico no terceiro vértice se uma carga for positiva e a outra for negativa.
Passo 2
Vamos usar a lei de Coulomb para o campo elétrico produzido por uma carga pontual. A fórmula é:
onde:
-
é o módulo do campo elétrico produzido por uma única carga em um ponto a distância ; -
é a constante eletrostática, que usamos aproximada como (valor prático para cálculos de prova); -
é o módulo da carga elétrica (aqui ); -
é a distância entre a carga e o ponto onde calculamos o campo (aqui ).
Explicação curta: cada carga produz um campo cujo módulo é dado por essa fórmula; quando há duas cargas, somamos vetorialmente os campos produzidos por cada uma.
Passo 3
Calcular o módulo do campo produzido por uma carga no vértice pedido (campo devido a uma única carga): substituímos na fórmula.
Efetuando passo a passo:
Portanto, o campo devido a cada carga isolada, no terceiro vértice, tem módulo
Passo 4
Analisar geometria e soma vetorial (caso geral): no triângulo equilátero, as direções dos campos produzidos pelas duas cargas no terceiro vértice fazem um ângulo de
entre si, porque os ângulos internos do triângulo são
. Para duas contribuições vetoriais iguais
separadas por um ângulo
, o módulo do resultante é dado por:
Essa fórmula vem da soma vetorial (lei dos cossenos) aplicada a dois vetores iguais. Aqui
.
Passo 5
Caso (a): as duas cargas são positivas.
- Cada campo no vértice aponta para fora do respectivo carregador (distância do carregador até o vértice), ou seja, os dois vetores têm o mesmo sentido relativo (ambos apontando para o vértice a partir de cada carga) e o ângulo entre eles é
. - Aplicando a fórmula:
Sabendo que
, temos
Substituindo
:
Interpretação física curta: os campos se somam e o resultado é maior que cada um isolado.
Passo 6
Caso (b): uma carga positiva e a outra negativa.
- Escolha mental (sem perda de generalidade): suponha a carga em
é e a carga em é . O campo devido a no vértice aponta para longe de (ou seja, em direção ao vértice), e o campo devido a no vértice aponta em direção a (ou seja, aponta do vértice para a carga negativa). Esses dois vetores têm agora direções simétricas em relação ao eixo mediano, uma para cima a e outra para baixo a em relação ao eixo horizontal, portanto o ângulo entre eles é . - Usamos a fórmula do passo 4 com
:
Como
,
Substituindo
:
Interpretação física curta: as componentes verticais dos campos se cancelam, e as componentes horizontais somam, resultando exatamente no valor de um campo isolado.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)