Duas partículas, ambas com uma carga de valor absoluto 12 nC , ocupam dois vértices de um triângulo equilátero com 2 cm de lado. Determine o módulo do campo elétrico no terceiro vértice (a) se as duas cargas forem positivas; (b) se uma das cargas for positiva e a outra for negativa.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Duas partículas ocupam dois vértices de um triângulo equilátero de lado 2\\ \text{cm}.
  • O valor absoluto da carga em cada partícula é \,12\\ \text{nC}\, (ou seja, |q|=12\times10^{-9}\\ \text{C}).
  • O ponto onde queremos o campo elétrico é o terceiro vértice do triângulo (o vértice que não tem carga).
  • Perguntas:
    (a) Determinar o módulo do campo elétrico no terceiro vértice se as duas cargas forem positivas.
    (b) Determinar o módulo do campo elétrico no terceiro vértice se uma carga for positiva e a outra for negativa.

Passo 2

Vamos usar a lei de Coulomb para o campo elétrico produzido por uma carga pontual. A fórmula é:
E=\frac{k\,|q|}{r^{2}}
onde:
  • E é o módulo do campo elétrico produzido por uma única carga em um ponto a distância r;
  • k é a constante eletrostática, que usamos aproximada como k=9{,}0\times10^{9}\\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2 (valor prático para cálculos de prova);
  • |q| é o módulo da carga elétrica (aqui |q|=12\times10^{-9}\\ \text{C});
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde calculamos o campo (aqui r=2\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m}).
Explicação curta: cada carga produz um campo cujo módulo é dado por essa fórmula; quando há duas cargas, somamos vetorialmente os campos produzidos por cada uma.

Passo 3

Calcular o módulo do campo produzido por uma carga no vértice pedido (campo devido a uma única carga): substituímos na fórmula.
E_{0}=\frac{9{,}0\times10^{9}\times 12\times10^{-9}}{(0{,}02)^{2}}
Efetuando passo a passo:
9{,}0\times10^{9}\times 12\times10^{-9}=9{,}0\times12=108
(0{,}02)^{2}=0{,}0004
E_{0}=\frac{108}{0{,}0004}=270000\\ \text{N/C}=2{,}70\times10^{5}\\ \text{N/C}.
Portanto, o campo devido a cada carga isolada, no terceiro vértice, tem módulo \,E_{0}=2{,}70\times10^{5}\\ \text{N/C}.

Passo 4

Analisar geometria e soma vetorial (caso geral): no triângulo equilátero, as direções dos campos produzidos pelas duas cargas no terceiro vértice fazem um ângulo de 60^\circ entre si, porque os ângulos internos do triângulo são 60^\circ. Para duas contribuições vetoriais iguais E_{0} separadas por um ângulo \varphi, o módulo do resultante é dado por:
E_{\text{res}}=\sqrt{E_{0}^{2}+E_{0}^{2}+2E_{0}E_{0}\cos\varphi}=2E_{0}\cos\frac{\varphi}{2}.
Essa fórmula vem da soma vetorial (lei dos cossenos) aplicada a dois vetores iguais. Aqui \varphi=60^\circ.

Passo 5

Caso (a): as duas cargas são positivas.
  • Cada campo no vértice aponta para fora do respectivo carregador (distância do carregador até o vértice), ou seja, os dois vetores têm o mesmo sentido relativo (ambos apontando para o vértice a partir de cada carga) e o ângulo entre eles é \varphi=60^\circ.
  • Aplicando a fórmula:
E_{(a)}=2E_{0}\cos\frac{60^\circ}{2}=2E_{0}\cos 30^\circ.
Sabendo que \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, temos
E_{(a)}=2E_{0}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=E_{0}\sqrt{3}.
Substituindo E_{0}=2{,}70\times10^{5}\\ \text{N/C}:
E_{(a)}=2{,}70\times10^{5}\times\sqrt{3}\approx 2{,}70\times10^{5}\times1{,}732=4{,}68\times10^{5}\\ \text{N/C}.
Interpretação física curta: os campos se somam e o resultado é maior que cada um isolado.

Passo 6

Caso (b): uma carga positiva e a outra negativa.
  • Escolha mental (sem perda de generalidade): suponha a carga em B é +q e a carga em C é -q. O campo devido a +q no vértice aponta para longe de +q (ou seja, em direção ao vértice), e o campo devido a -q no vértice aponta em direção a -q (ou seja, aponta do vértice para a carga negativa). Esses dois vetores têm agora direções simétricas em relação ao eixo mediano, uma para cima a +60^\circ e outra para baixo a -60^\circ em relação ao eixo horizontal, portanto o ângulo entre eles é \varphi=120^\circ.
  • Usamos a fórmula do passo 4 com \varphi=120^\circ:
E_{(b)}=2E_{0}\cos\frac{120^\circ}{2}=2E_{0}\cos 60^\circ.
Como \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2},
E_{(b)}=2E_{0}\cdot\tfrac{1}{2}=E_{0}.
Substituindo E_{0}=2{,}70\times10^{5}\\ \text{N/C}:
E_{(b)}=2{,}70\times10^{5}\\ \text{N/C}.
Interpretação física curta: as componentes verticais dos campos se cancelam, e as componentes horizontais somam, resultando exatamente no valor de um campo isolado.

Resposta

(a) 4{,}68\times10^{5}\\ \text{N/C}\n
(b) 2{,}70\times10^{5}\\ \text{N/C}

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