Dois vetores u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2) são paralelos se, e somente se,
x1x2=y1y2=z1z2
Diante disso,
b) dado o vetor w=(3,2,5), determine a e b de modo que os vetores u=(3,2,-1) e v=(a, 6, b)+2 w sejam paralelos.

Passo 1

O enunciado dá u=(3,2,-1), w=(3,2,5) e define
v=(a,6,b)+2w. Queremos a e b tais que u e v sejam paralelos. Para vetores em R^3, isso significa que existe escalar t tal que
v=t,u

Passo 2

Calculemos primeiro v em função de a e b:
v=(a,6,b)+2,(3,2,5)=(a+6,;6+4,;b+10)=(a+6,;10,;b+10)

Passo 3

Impondo v=t,u, obtemos o sistema de componentes
a+6 = 3t, 10 = 2t, b+10 = -1cdot t

Passo 4

Da segunda equação segue
10 = 2t Longrightarrow t=5

Passo 5

Substituindo t=5 nas demais equações:
a+6 = 3cdot5 = 15 Longrightarrow a=9,
b+10 = -1cdot5 = -5 Longrightarrow b=-15

Resposta

a=9 e b=-15.

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