Dois vetores são tais que sua diferença vale 6 e é perpendicular à sua soma, que vale 8. Encontre os módulos dos dois vetores.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores que, quando subtraídos, têm módulo 6, e essa diferença é perpendicular à soma dos mesmos vetores, que tem módulo 8. Nosso objetivo é descobrir o tamanho (módulo) de cada um desses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como módulo de vetores e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois vetores de u e v. De acordo com o enunciado:
|u - v| = 6 e |u + v| = 8
Além disso, sabemos que u - v é perpendicular a u + v. Quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar de u - v com u + v:
(u - v) cdot (u + v) = 0
Expandindo o produto escalar:
u cdot u + u cdot v - v cdot u - v cdot v = 0
Como u cdot v = v cdot u, os termos se cancelam:
|u|^2 - |v|^2 = 0
Isso nos mostra que:
|u| = |v|
Vamos chamar o módulo de cada vetor de a, ou seja, |u| = |v| = a.

Passo 4

Agora, vamos utilizar uma relação importante da álgebra vetorial que envolve a soma e a diferença de vetores:
|u + v|^2 + |u - v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2)
Substituindo os valores que temos:
8^2 + 6^2 = 2(a^2 + a^2)
Calculando:
64 + 36 = 4a^2
100 = 4a^2

Passo 5

Resolvendo para a^2:
a^2 = 1004 = 25
Então, tirando a raiz quadrada:
a = raiz25 = 5

Resposta

Os módulos dos dois vetores são iguais a 5.

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