Dois vetores são tais que sua diferença vale 6 e é perpendicular à sua soma, que vale 8. Encontre os módulos dos dois vetores.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores que, quando subtraídos, têm módulo 6, e essa diferença é perpendicular à soma dos mesmos vetores, que tem módulo 8. Nosso objetivo é descobrir o tamanho (módulo) de cada um desses vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como módulo de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os dois vetores de
e
. De acordo com o enunciado:
Além disso, sabemos que
é perpendicular a
. Quando dois vetores são perpendiculares, o produto escalar entre eles é zero.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar de
com
:
Expandindo o produto escalar:
Como
, os termos se cancelam:
Isso nos mostra que:
Vamos chamar o módulo de cada vetor de
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos utilizar uma relação importante da álgebra vetorial que envolve a soma e a diferença de vetores:
Substituindo os valores que temos:
Calculando:
Passo 5
Resolvendo para
:
Então, tirando a raiz quadrada:
Resposta
Os módulos dos dois vetores são iguais a
.