(Função Quadrática) Dada a função f(x)=-x^{2}+4 x-4 :
(a) Calcule o discriminante (\Delta) e determine quantas vezes o gráfico intercepta o eixo das abscissas.
(b) Determine a imagem da função.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=-x^{2}+4x-4.
O que é pedido:
(a) Calcular o discriminante \Delta e determinar quantas vezes o gráfico intercepta o eixo das abscissas (isto é, quantas raízes reais a equação f(x)=0 tem).
(b) Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por f, também chamado de intervalo ou range).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes da função quadrática na forma f(x)=ax^{2}+bx+c:
    • a=-1
    • b=4
    • c=-4

Passo 2

Explicando o discriminante: para uma quadrática ax^{2}+bx+c, o discriminante é definido por
\Delta = b^{2} - 4ac.
Ele indica o número de raízes reais da equação ax^{2}+bx+c=0:
  • Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas (o gráfico corta o eixo x em dois pontos).
  • Se \Delta=0 há uma raiz real dupla (o gráfico toca o eixo x em um único ponto — vértice sobre o eixo).
  • Se \Delta<0 não há raízes reais (o gráfico não intercepta o eixo x).
Agora calculamos \Delta usando os coeficientes dados:
\Delta = b^{2}-4ac = 4^{2}-4\cdot(-1)\cdot(-4).
Calcule passo a passo:
4^{2}=16, \qquad 4\cdot(-1)\cdot(-4)=4\cdot(4)=16,
portanto
\Delta = 16-16=0.

Passo 3

Interpretação do resultado \Delta=0: existe exatamente uma raiz real (raiz dupla). Isso significa que o gráfico da parábola toca o eixo das abscissas em um único ponto (o vértice da parábola está sobre o eixo x).
Podemos encontrar a(s) raiz(es) pela fórmula quadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.
Como \Delta=0, o \pm\sqrt{\Delta} é zero, então a raiz é única:
x=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot(-1)}=\frac{-4}{-2}=2.
Logo a interseção com o eixo das abscissas ocorre uma vez, em x=2. Também veremos abaixo que esse ponto é o vértice.

Passo 4

Explicando vértice e concavidade: para f(x)=ax^{2}+bx+c,
  • se a>0 a parábola abre para cima e o vértice é mínimo;
  • se a<0 a parábola abre para baixo e o vértice é máximo.
    A coordenada x do vértice é dada por
x_{v}=\frac{-b}{2a},
e o valor de f no vértice (o máximo ou mínimo) é f(x_{v}).
No nosso caso a=-1<0, então a parábola abre para baixo e o vértice é um máximo. Já calculámos x_{v} ao achar a raiz dupla; reafirmando:
x_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot(-1)}=2.

Passo 5

Calculamos o valor máximo f(x_{v}):
f(2) = - (2)^{2} + 4\cdot 2 -4 = -4 + 8 -4 = 0.
Portanto o máximo da função é 0. Como a parábola abre para baixo, não há limite inferior: a função atinge todos os valores menores que ou iguais a 0.
Uma observação alternativa e muito direta (útil na prova): reescrever a função completando o quadrado mostra isso imediatamente. Fazendo:
f(x) = -x^{2}+4x-4 = -\bigl(x^{2}-4x+4\bigr) = -\bigl(x-2\bigr)^{2}.
Da última expressão fica claro que (x-2)^{2}\ge 0 para todo x, então - (x-2)^{2}\le 0 para todo x, com igualdade só quando x=2. Isso confirma que o valor máximo é 0 alcançado em x=2, e que todos os valores menores que 0 também ocorrem.

Resposta

(a) \Delta=0; o gráfico intercepta o eixo das abscissas uma vez (raiz dupla em x=2).
(b) Imagem: (-\infty,0]

Exercícios relacionados