(Função Quadrática) Dada a função
:
(a) Calcule o discriminante
e determine quantas vezes o gráfico intercepta o eixo das abscissas.
(b) Determine a imagem da função.
(a) Calcule o discriminante
(b) Determine a imagem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
.
O que é pedido:
(a) Calcular o discriminante e determinar quantas vezes o gráfico intercepta o eixo das abscissas (isto é, quantas raízes reais a equação
tem).
(b) Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por , também chamado de intervalo ou range).
(a) Calcular o discriminante
(b) Determinar a imagem (conjunto de valores assumidos por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes da função quadrática na forma
: -
Passo 2
Explicando o discriminante: para uma quadrática
, o discriminante é definido por
Ele indica o número de raízes reais da equação
:
- Se
há duas raízes reais distintas (o gráfico corta o eixo em dois pontos). - Se
há uma raiz real dupla (o gráfico toca o eixo em um único ponto — vértice sobre o eixo). - Se
não há raízes reais (o gráfico não intercepta o eixo ).
Agora calculamos
usando os coeficientes dados:
Calcule passo a passo:
portanto
Passo 3
Interpretação do resultado
: existe exatamente uma raiz real (raiz dupla). Isso significa que o gráfico da parábola toca o eixo das abscissas em um único ponto (o vértice da parábola está sobre o eixo
).
Podemos encontrar a(s) raiz(es) pela fórmula quadrática
Como
, o
é zero, então a raiz é única:
Logo a interseção com o eixo das abscissas ocorre uma vez, em
. Também veremos abaixo que esse ponto é o vértice.
Passo 4
Explicando vértice e concavidade: para
,
- se
a parábola abre para cima e o vértice é mínimo; - se
a parábola abre para baixo e o vértice é máximo.
A coordenadado vértice é dada por
e o valor de
no vértice (o máximo ou mínimo) é
.
No nosso caso
, então a parábola abre para baixo e o vértice é um máximo. Já calculámos
ao achar a raiz dupla; reafirmando:
Passo 5
Calculamos o valor máximo
:
Portanto o máximo da função é
. Como a parábola abre para baixo, não há limite inferior: a função atinge todos os valores menores que ou iguais a
.
Uma observação alternativa e muito direta (útil na prova): reescrever a função completando o quadrado mostra isso imediatamente. Fazendo:
Da última expressão fica claro que
para todo
, então
para todo
, com igualdade só quando
. Isso confirma que o valor máximo é
alcançado em
, e que todos os valores menores que
também ocorrem.
Resposta
(a)
; o gráfico intercepta o eixo das abscissas uma vez (raiz dupla em
).
(b) Imagem:
(b) Imagem: