Qual o dominio da curva \gamma(t)=\left(t, \frac{1}{t}, \sqrt{t}, \ln (t)\right)
a. \mathbb{R}^{2}
b. [0,+\infty)
c. \mathbb{R}
d. (0,+\infty)
e. \mathbb{R}-0

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\gamma(t)=\bigl(t,\;\tfrac{1}{t},\;\sqrt{t},\;\ln(t)\bigr)
e pede o domínio de definição dessa curva. Vamos analisar cada componente para ver quais valores de t fazem sentido.

Passo 2

A primeira componente é t. Ela está definida para todo t\in\mathbb{R}, sem restrição.
A segunda componente é \tfrac{1}{t}. Para essa fração fazermos sentido, precisamos de t\neq 0. Então já restringimos o domínio para \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

A terceira componente é \sqrt{t}. A raiz quadrada em \mathbb{R} exige que t\ge 0. Agora nosso domínio possível fica com t\ge0 e t\neq0, ou seja, t>0.
A quarta componente é \ln(t). O logaritmo natural exige t>0. Essa condição coincide com a do passo anterior.

Passo 4

Unindo todas as restrições:
– de \tfrac{1}{t} veio t\neq0,
– de \sqrt{t} veio t\ge0,
– de \ln(t) veio t>0.
A interseção de todas é simplesmente t>0.

Resposta

A opção correta é (0,+\infty), ou seja, letra (d).

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