Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar o domínio da função
e fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender sobre funções racionais e como identificar onde elas estão definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que podemos colocar na função sem causar problemas, como dividir por zero ou tirar a raiz de um número negativo.
Passo 3
Olhemos para a nossa função:
. Aqui, temos uma fração onde o denominador é
. Lembre-se que na matemática, não podemos dividir por zero, então precisamos garantir que o denominador nunca seja zero.
Passo 4
Vamos então encontrar o valor de
que torna o denominador zero:
Portanto, quando
, o denominador é zero, o que não é permitido.
Passo 5
Assim, o domínio da função é todos os números reais menos
. Em notação matemática, podemos escrever:
Isso significa que podemos usar qualquer valor para
exceto 1.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico da função
. Essa é uma função racional que apresenta uma assíntota vertical. A assíntota vertical ocorre onde o denominador é zero, que já encontramos:
.
Passo 7
Além disso, como o grau do numerador é menor que o do denominador, também temos uma assíntota horizontal. Para encontrar essa assíntota, olhamos para os limites da função quando
tende para infinito ou menos infinito:
Então, a assíntota horizontal é
, que é o eixo
.
Passo 8
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico:
- Existe uma assíntota vertical em
. - Existe uma assíntota horizontal em
. - A função terá dois ramos: um à esquerda da assíntota vertical e outro à direita.
Passo 9
Vamos plotar alguns pontos para ter uma ideia melhor:
- Se
: - Se
: - Se
: - Se
:
Esses pontos nos ajudam a ver como o gráfico se comporta em relação às assíntotas.
Passo 10
Com tudo isso, o esboço do gráfico terá dois ramos:
- Um ramo no segundo quadrante, aproximando-se das assíntotas
e à medida que se afasta de 1. - Outro ramo no primeiro quadrante, fazendo o mesmo.
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais menos 1, ou seja,
. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
, com dois ramos situados nos quadrantes primeiro e segundo.