Dê o domínio e esboce o gráfico.
y=2x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para encontrar o domínio da função y = 2x - 1 e fazer um esboço do gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender sobre funções racionais e como identificar onde elas estão definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de x que podemos colocar na função sem causar problemas, como dividir por zero ou tirar a raiz de um número negativo.

Passo 3

Olhemos para a nossa função: y = 2x - 1 . Aqui, temos uma fração onde o denominador é x - 1 . Lembre-se que na matemática, não podemos dividir por zero, então precisamos garantir que o denominador nunca seja zero.

Passo 4

Vamos então encontrar o valor de x que torna o denominador zero:
x - 1 = 0 x = 1
Portanto, quando x = 1 , o denominador é zero, o que não é permitido.

Passo 5

Assim, o domínio da função é todos os números reais menos x = 1 . Em notação matemática, podemos escrever:
Domínio: R setminus 1 í
Isso significa que podemos usar qualquer valor para x exceto 1.

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico da função y = 2x - 1 . Essa é uma função racional que apresenta uma assíntota vertical. A assíntota vertical ocorre onde o denominador é zero, que já encontramos: x = 1 .

Passo 7

Além disso, como o grau do numerador é menor que o do denominador, também temos uma assíntota horizontal. Para encontrar essa assíntota, olhamos para os limites da função quando x tende para infinito ou menos infinito:
limx to infty 2x - 1 = 0 limx to -infty 2x - 1 = 0
Então, a assíntota horizontal é y = 0 , que é o eixo x .

Passo 8

Com essas informações, podemos desenhar o gráfico:
  • Existe uma assíntota vertical em x = 1 .
  • Existe uma assíntota horizontal em y = 0 .
  • A função terá dois ramos: um à esquerda da assíntota vertical e outro à direita.

Passo 9

Vamos plotar alguns pontos para ter uma ideia melhor:
  • Se x = 0 : y = 20 - 1 = -2
  • Se x = 2 : y = 22 - 1 = 2
  • Se x = -1 : y = 2-1 - 1 = -1
  • Se x = 3 : y = 23 - 1 = 1
Esses pontos nos ajudam a ver como o gráfico se comporta em relação às assíntotas.

Passo 10

Com tudo isso, o esboço do gráfico terá dois ramos:
  • Um ramo no segundo quadrante, aproximando-se das assíntotas x = 1 e y = 0 à medida que x se afasta de 1.
  • Outro ramo no primeiro quadrante, fazendo o mesmo.

Resposta

O domínio da função y = 2x - 1 é todos os números reais menos 1, ou seja, R setminus 1 . O gráfico apresenta uma assíntota vertical em x = 1 e uma assíntota horizontal em y = 0 , com dois ramos situados nos quadrantes primeiro e segundo.

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