Em um torneio de xadrez, há 16 jogadores classificados para a fase final. O comitê organizador precisa selecionar 5 jogadores para participar de um evento especial de exibição. A ordem de seleção dos jogadores não importa. De quantas maneiras diferentes o comitê pode escolher esses 5 jogadores entre os 16 participantes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um torneio de xadrez com 16 jogadores e o comitê quer escolher 5 desses para um evento especial. A matéria que a gente vai usar aqui é combinatória, que trata de contar de quantas maneiras podemos fazer certas seleções. Para resolver, a gente precisa usar o conceito de combinação, já que a ordem não importa nessa seleção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é combinação. Combinação significa selecionar itens onde a ordem não faz diferença. A fórmula para calcular combinações é:
C(n, k) = binomnk = n!k!(n - k)!
Onde:
  • n é o total de itens (neste caso, 16 jogadores).
  • k é o número de itens que queremos selecionar (neste caso, 5 jogadores).
  • ! significa fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores do problema:
C(16, 5) = binom165 = 16!5!(16 - 5)! = 16!5! times 11!

Passo 4

Agora, vamos simplificar os fatoriais. Sabemos que:
16! = 16 times 15 times 14 times 13 times 12 times 11!
Então, substituindo na fórmula:
16!5! times 11! = 16 times 15 times 14 times 13 times 12 times 11!5! times 11! = 16 times 15 times 14 times 13 times 125!
Sabendo que 5! = 120:
16 times 15 times 14 times 13 times 12120
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. 16 times 15 = 240
  2. 240 times 14 = 3.360
  3. 3.360 times 13 = 43.680
  4. 43.680 times 12 = 524.160
Agora, dividimos por 120:
524.160120 = 4.368

Resposta

O comitê pode escolher os 5 jogadores de 4.368 maneiras diferentes.

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