(6 pontos) Encontrar a solução do problema de valor inicial e determine o intervalo na qual a solução está definida
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável. Vamos separar as variáveis
e
e integrar.
Passo 2
Separamos variáveis escrevendo
e então integramos ambos os lados:
Passo 3
Usamos a condição inicial
para determinar
:
Logo a relação implícita fica
Passo 4
Multiplicamos por 2 e reescrevemos em forma canônica:
Tomando raiz quadrada,
Passo 5
Para escolher o sinal correto, avaliamos em
:
logo as duas possibilidades em
são
ou
. Como queremos
, escolhemos o ramo “
”:
Passo 6
Para que a solução seja real e o denominador original
nunca zere, precisamos de
Além disso, com o ramo escolhido tem-se
.
Como o ponto inicial é , o intervalo de definição maximal que contém
é
Como o ponto inicial é
Resposta
A solução é
definida no intervalo