(6 pontos) Encontrar a solução do problema de valor inicial e determine o intervalo na qual a solução está definida y^prime=2 x1+y, y(2)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = 2x1+y, y(2)=0,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável. Vamos separar as variáveis x e y e integrar.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
dydx = 2x1+y Longrightarrow (1+y),dy = 2x,dx
e então integramos ambos os lados:
integral (1+y),dy = integral 2x,dx Longrightarrow y + y^22 = x^2 + C

Passo 3

Usamos a condição inicial y(2)=0 para determinar C:
0 + 0^22 = 2^2 + C Longrightarrow C = -4
Logo a relação implícita fica
y + y^22 = x^2 - 4

Passo 4

Multiplicamos por 2 e reescrevemos em forma canônica:
y^2 + 2y = 2x^2 - 8 Longrightarrow y^2 + 2y +1 = 2x^2 -7 Longrightarrow (y+1)^2 = 2x^2 - 7
Tomando raiz quadrada,
y + 1 = pmraiz2x^2 - 7 Longrightarrow y = -1 pm raiz2x^2 - 7

Passo 5

Para escolher o sinal correto, avaliamos em x=2:
raiz2cdot 2^2 -7 = raiz8-7=1,
logo as duas possibilidades em x=2 são y= -1+1=0 ou y=-1-1=-2. Como queremos y(2)=0, escolhemos o ramo “ +”:
boxedy(x) = -1 + raiz2x^2 ;-;7,

Passo 6

Para que a solução seja real e o denominador original 1+y nunca zere, precisamos de
2x^2 - 7 >= 0 Longrightarrow |x| >= raiztfrac72
Além disso, com o ramo escolhido tem-se 1+y = raiz2x^2-7>0.
Como o ponto inicial é x=2> raiz7/2, o intervalo de definição maximal que contém 2 é
l(,raiztfrac72,,;+inftyr)

Resposta

A solução é
y(x) = -1 + raiz2x^2 - 7,
definida no intervalo
l(,raiztfrac72,,;+inftyr)

Exercícios relacionados