(6 pontos) Encontrar a solução do problema de valor inicial y^prime+y4=3+2 cos 2 t, y(0)=0. A solução é única? onde a solução é única?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que é do tipo y' + y4 = 3 + 2 cos 2t, com a condição inicial y(0) = 0. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisamos usar o método do fator integrante para achar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos a equação na forma padrão: y' + P(t)y = Q(t). Aqui, P(t) = 14 e Q(t) = 3 + 2 cos 2t.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é e^integral P(t) dt. Calculando:
integral 14 dt = t4
Então, o fator integrante é:
mu(t) = e^t4

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^t4 y' + e^t4 cdot y4 = e^t4 cdot (3 + 2 cos 2t)
O lado esquerdo se simplifica para a derivada de y cdot e^t4:
ddt (y cdot e^t4) = e^t4 cdot (3 + 2 cos 2t)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
y cdot e^t4 = integral e^t4 cdot 3 dt + integral e^t4 cdot 2 cos 2t dt + C
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Primeira integral:
integral 3 e^t4 dt = 12 e^t4

Passo 7

Segunda integral envolve integração por partes ou uso de fórmulas de integrais para combinações exponenciais e trigonométricas:
integral 2 e^t4 cos 2t dt = 817 e^t4 (2 cos 2t + sin 2t)

Passo 8

Juntando tudo:
y cdot e^t4 = 12 e^t4 + 817 e^t4 (2 cos 2t + sin 2t) + C

Passo 9

Isolando y, dividimos por e^t4:
y = 12 + 817 (2 cos 2t + sin 2t) + C e^-t4

Passo 10

Aplicamos a condição inicial y(0) = 0 para achar C:
0 = 12 + 817 (2 cdot 1 + 0) + C
Simplificando:
0 = 12 + 1617 + C C = -12 - 1617 = -22017

Passo 11

Substituindo C de volta na solução:
y = 12 + 817 (2 cos 2t + sin 2t) - 22017 e^-t4

Resposta

A solução única do problema é:
y(t) = 12 + 1617 cos 2t + 817 sin 2t - 22017 e^-t4
Sim, a solução é única em todo o domínio considerado.

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