(6 pontos) Encontrar a solução do problema de valor inicial
. A solução é única? onde a solução é única?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial que é do tipo
, com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Precisamos usar o método do fator integrante para achar a solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos a equação na forma padrão:
. Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é
. Calculando:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo se simplifica para a derivada de
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 6
Primeira integral:
Passo 7
Segunda integral envolve integração por partes ou uso de fórmulas de integrais para combinações exponenciais e trigonométricas:
Passo 8
Juntando tudo:
Passo 9
Isolando
, dividimos por
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
para achar
:
Simplificando:
Passo 11
Substituindo
de volta na solução:
Resposta
A solução única do problema é:
Sim, a solução é única em todo o domínio considerado.