Esboce o gráfico da função y=f(x) dada implicitamente pela equação.
x^2+y^2+2 y=0, y >=-1

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva dada implicitamente por
x^2 + y^2 + 2y = 0
com a restrição y>= -1.
O conteúdo envolvido é interpretação de curvas implícitas, em particular reconhecer e esboçar uma circunferência usando o método de completar o quadrado.

Passo 2

Vamos completar o quadrado no termo em y. Note que
y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1
Substituindo em x^2 + y^2 + 2y = 0 obtemos
x^2 + l((y+1)^2 - 1r) = 0 Longrightarrow x^2 + (y+1)^2 = 1

Passo 3

A equação
x^2 + (y+1)^2 = 1
é uma circunferência de centro (0,-1) e raio 1. A condição y>= -1 seleciona apenas a parte da circunferência com ordenada maior ou igual a -1, ou seja, a semicircunferência superior.

Passo 4

Para escrever explicitamente como função, isolamos y:
y+1 = pmraiz,1 - x^2,,
mas como y>= -1 implica y+1>= 0, tomamos o sinal positivo. Assim
y = -1 + raiz,1 - x^2,,
com domínio -1 <= x <= 1.

Passo 5

No esboço temos:
  • Pontos extremos: (-1,-1) e (1,-1).
  • Ponto mais alto: (0,0).
    Traçamos a curva suave que conecta essas extremidades formando a “parte de cima” de um círculo de raio 1 centrado em (0,-1).

Resposta

O gráfico de y=f(x) é a semicircunferência superior de raio 1 centrada em (0,-1), dada por
y = -1 + raiz,1 - x^2,, -1 <= x <= 1

Exercícios relacionados