O enunciado pede a área das regiões delimitadas pelas curvas , e pelas retas verticais e .
O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas usando integrais definidas.
Passo 2
Primeiro identificamos os pontos de interseção resolvendo
Isso dá ou , o que leva a , ou , o que leva a .
Portanto as curvas se cruzam em , e .
Passo 3
Em cada subintervalo determinamos qual função está acima da outra:
Para , teste em : e .
Logo ali.
Para , teste em : e .
Logo ali.
Passo 4
A área de cada região é
Como as funções são ímpar e os limites simétricos, .
Passo 5
Calculamos a primitiva comum
Logo, para 0<= x<=pi/3,
integral0^pi/3l(2sin x - tan xr),dx =l[-2cos x + ln|cos x|r]0^pi/3 =l(-1 - ln2r)-l(-2r) =1-ln2
Passo 6
Portanto cada região (à esquerda de x=0 e à direita de x=0) tem área
A1 = A2 = 1 - ln2
Se quiser a área total entre as curvas de -pi/3 a pi/3, basta somar:
Atotal = A1 + A2 = 2,(1-ln2)=2 - 2ln2
Resposta
A área de cada porção sombreada é 1 - ln2.
A área total entre as curvas no intervalo dado é 2 - 2ln2.