Encontre as áreas da região sombreada.
y=tg x, y=2 sen x, -pi / 3 <= x <= pi / 3

Passo 1

O enunciado pede a área das regiões delimitadas pelas curvas
;y=tan x, ;y=2sin x e pelas retas verticais ;x=-pi/3 e ;x=pi/3.
O conteúdo aqui é cálculo de área entre duas curvas usando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos de interseção resolvendo
tan x = 2sin x
Isso dá ou sin x=0, o que leva a x=0, ou cos x=tfrac12, o que leva a x=pmpi/3.
Portanto as curvas se cruzam em x=-pi/3, x=0 e x=pi/3.

Passo 3

Em cada subintervalo determinamos qual função está acima da outra:
  • Para xin(-pi/3,0), teste em x=-pi/6:
    tan(-pi/6)=-tfrac1raiz3approx-0,577 e 2sin(-pi/6)=-1.
    Logo tan x>2sin x ali.
  • Para xin(0,pi/3), teste em x=pi/6:
    tan(pi/6)=tfrac1raiz3approx0,577 e 2sin(pi/6)=1.
    Logo 2sin x>tan x ali.

Passo 4

A área de cada região é
A1 = integral-pi/3^0l(tan x - 2sin xr),dx, A2 = integral0^pi/3l(2sin x - tan xr),dx
Como as funções são ímpar e os limites simétricos, A1=A2.

Passo 5

Calculamos a primitiva comum
integrall(2sin x - tan xr),dx = integral2sin x,dx ;-;integraltan x,dx = -2cos x + lnl|cos xr| + C
Logo, para 0<= x<=pi/3,
integral0^pi/3l(2sin x - tan xr),dx =l[-2cos x + ln|cos x|r]0^pi/3 =l(-1 - ln2r)-l(-2r) =1-ln2

Passo 6

Portanto cada região (à esquerda de x=0 e à direita de x=0) tem área
A1 = A2 = 1 - ln2
Se quiser a área total entre as curvas de -pi/3 a pi/3, basta somar:
Atotal = A1 + A2 = 2,(1-ln2)=2 - 2ln2

Resposta

A área de cada porção sombreada é 1 - ln2.
A área total entre as curvas no intervalo dado é 2 - 2ln2.

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