Dê o domínio e esboce o gráfico.
f(x)=2 x+1

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=2x+1 e pede duas coisas:
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Esboçar o gráfico de f.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A fórmula explícita da função é f(x)=2x+1.
  • Não há figura nem outra restrição adicional.

Passo 2

O que é domínio?
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (ou seja, está bem definida). Exemplos de coisas que podem restringir o domínio são divisão por zero, radicais de índice par com argumento negativo, logaritmos de números não positivos, etc.
No nosso caso a função é dada por uma expressão polinomial do 1.º grau, 2x+1. Polinômios não têm divisões, raízes de índice par nem logaritmos: para qualquer número real x a expressão 2x+1 é um número real bem definido. Portanto o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Conclusão do domínio:
\text{Domínio}(f)=\mathbb{R}.í

Passo 3

Como esboçar o gráfico de uma função linear do tipo f(x)=ax+b?
  • Em f(x)=ax+b, o número a é o coeficiente angular (ou inclinação / “slope”): ele diz quanto a função sobe (ou desce) quando x aumenta de uma unidade. Mais precisamente, se a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}, então ao aumentar x em 1 a imagem y muda em a.
  • O número b é o coeficiente linear (intercepto em y): ele é o valor de f(x) quando x=0, ou seja, o ponto onde a reta corta o eixo y.
Para a nossa função f(x)=2x+1 temos:
a=2,\qquad b=1.

Passo 4

Calcular o intercepto em y (ponto onde x=0):
f(0)=2\cdot 0+1=1.
Logo a reta passa pelo ponto (0,1).

Passo 5

Calcular o intercepto em x (resolver f(x)=0):
2x+1=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Logo a reta corta o eixo x em \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr).

Passo 6

Obter mais pontos para facilitar o esboço (basta ter dois pontos distintos, mas é útil ter vários para conferir a inclinação).
  • Para x=1:
f(1)=2\cdot 1+1=3,
ponto (1,3).
  • Para x=-1:
f(-1)=2\cdot(-1)+1=-2+1=-1,
ponto (-1,-1).
Agora temos vários pontos: \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr), (0,1), (1,3), (-1,-1).

Passo 7

Interpretar a inclinação a=2: ela significa que ao aumentar x de 1 unidade, y aumenta de 2 unidades (subida de 2 para a direita de 1). Por exemplo, indo de (0,1) para (1,3) temos \Delta x=1 e \Delta y=2, compatível com a inclinação 2. Para desenhar a reta no papel: marque dois desses pontos (por exemplo (0,1) e (1,3)) e trace a linha reta que passa por eles.

Passo 8

Instruções práticas para esboçar (passo a passo, como fazer na prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque algumas unidades positivas e negativas em cada eixo.
  2. Plote o ponto (0,1) no eixo y.
  3. Plote o ponto (1,3) (ou (-1,-1)) usando as unidades que desenhou.
  4. Risque uma régua imaginária (ou use régua) e trace a reta que passa por esses pontos; estenda a linha para ambos os lados.
  5. Coloque setas nas extremidades da reta indicando que ela continua indefinidamente.
  6. (Opcional) marque também o ponto de interseção com o eixo x, \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr), para conferir coerência.

Passo 9

Propriedades importantes para lembrar (úteis na prova):
  • A função é linear e contínua em todo \mathbb{R}.
  • A reta não tem curvas nem assíntotas; é completamente determinada pelo coeficiente angular e pelo intercepto em y.
  • Com dois pontos distintos já se determina o esboço da reta.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico: reta dada por y=2x+1, que passa por (0,1), por \bigl(-\tfrac{1}{2},0\bigr) e por (1,3); inclinação 2 (sobe 2 para a direita de 1).

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