Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio e esboçar o gráfico da função racional
Este é um problema de funções racionais em que vamos precisar de:
– encontrar onde o denominador se anula (para o domínio);
– identificar assíntotas verticais e horizontais;
– estudar o sinal da função em cada intervalo;
– calcular interceptos e limites nas bordas dos intervalos;
– juntar tudo num esboço do gráfico.
– encontrar onde o denominador se anula (para o domínio);
– identificar assíntotas verticais e horizontais;
– estudar o sinal da função em cada intervalo;
– calcular interceptos e limites nas bordas dos intervalos;
– juntar tudo num esboço do gráfico.
Passo 2
Para achar o domínio, impomos que o denominador nunca seja zero:
Logo
Passo 3
As assíntotas são:
– verticais onde o denominador se anula, isto é, em e
;
– horizontal pelo fato de o grau do denominador ( ) ser maior que o do numerador (
), logo
– verticais onde o denominador se anula, isto é, em
– horizontal pelo fato de o grau do denominador (
é assíntota horizontal.
Passo 4
Estudando o sinal de
:
– em temos
, então
;
– em temos
, então
;
– em novamente
, então
.
– em
– em
– em
Passo 5
Interceptos:
– não há intercepto em pois
não tem solução;
– o intercepto em é dado por
,
– não há intercepto em
– o intercepto em
Passo 6
Limites que definem o formato perto das bordas:
Passo 7
Com tudo isso, o esboço do gráfico tem três ramos:
– em , ramo positivo que cresce de
(quando
) até
(quando
);
– em , ramo negativo que sai de
(em
), atinge o ponto mais alto
e volta a
(em
);
– em , ramo positivo que sai de
(em
) e decresce para
(em
).
As assíntotas verticais ,
e horizontal
guiam o desenho.
– em
– em
– em
As assíntotas verticais
Resposta
O domínio é
O gráfico apresenta assíntotas verticais em
e
, assíntota horizontal em
, intercepto em
no ponto
e três ramos conforme descrito acima.