Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
h(x)=2x^2-9;

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio e esboçar o gráfico da função racional
h(x)=2x^2-9
Este é um problema de funções racionais em que vamos precisar de:
– encontrar onde o denominador se anula (para o domínio);
– identificar assíntotas verticais e horizontais;
– estudar o sinal da função em cada intervalo;
– calcular interceptos e limites nas bordas dos intervalos;
– juntar tudo num esboço do gráfico.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos que o denominador nunca seja zero:
x^2-9neq 0Longrightarrow x^2neq9Longrightarrow xneq pm 3
Logo
Dom(h)=(-infty,-3),cup,(-3,3),cup,(3,infty)

Passo 3

As assíntotas são:
– verticais onde o denominador se anula, isto é, em x=-3 e x=3;
– horizontal pelo fato de o grau do denominador ( 2) ser maior que o do numerador ( 0), logo
y=0
é assíntota horizontal.

Passo 4

Estudando o sinal de h(x)=2/(x^2-9):
– em (-infty,-3) temos x^2-9>0, então h(x)>0;
– em (-3,3) temos x^2-9<0, então h(x)<0;
– em (3,infty) novamente x^2-9>0, então h(x)>0.

Passo 5

Interceptos:
– não há intercepto em x pois 2/(x^2-9)=0 não tem solução;
– o intercepto em y é dado por x=0,
h(0)=20-9=-29

Passo 6

Limites que definem o formato perto das bordas:
limxto 3^-h(x)=-infty, limxto 3^+h(x)=+infty,
limxto -3^-h(x)=+infty, limxto -3^+h(x)=-infty,
limxtopminftyh(x)=0^+

Passo 7

Com tudo isso, o esboço do gráfico tem três ramos:
– em x<-3, ramo positivo que cresce de 0^+ (quando xto-infty) até +infty (quando xto-3^-);
– em -3<x<3, ramo negativo que sai de -infty (em xto-3^+), atinge o ponto mais alto (0,-tfrac29) e volta a -infty (em xto3^-);
– em x>3, ramo positivo que sai de +infty (em xto3^+) e decresce para 0^+ (em xto+infty).
As assíntotas verticais x=-3, x=3 e horizontal y=0 guiam o desenho.

Resposta

O domínio é
(-infty,-3),cup,(-3,3),cup,(3,infty)
O gráfico apresenta assíntotas verticais em x=-3 e x=3, assíntota horizontal em y=0, intercepto em y no ponto l(0,-tfrac29r) e três ramos conforme descrito acima.

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