Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
d^2 qd t^2+9 d qd t+14 q=12 sen t ; q(0)=0, dotq(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2qdt^2 + 9,dqdt + 14,q = tfrac12sin t,
com condições iniciais q(0)=0 e dot q(0)=1.
Para resolver usando transformada de Laplace, vamos usar:
Lq(t)=Q(s),
Lq'(t)=sQ(s)-q(0),
Lq''(t)=s^2Q(s)-s,q(0)-dot q(0),
e Lsin t=1/(s^2+1).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
l[s^2Q(s)-s,q(0)-dot q(0)r] +9l[sQ(s)-q(0)r] +14,Q(s) =tfrac12;1s^2+1
Substituindo q(0)=0 e dot q(0)=1, isso vira
s^2Q(s)-1+9,s,Q(s)+14,Q(s) =12,(s^2+1),
logo
Q(s),(s^2+9s+14)-1=12,(s^2+1)

Passo 3

Isolando Q(s), temos
Q(s)=1+dfrac12(s^2+1)s^2+9s+14 =dfrac2(s^2+1)+12(s^2+1)(s+2)(s+7) =2s^2+32,(s^2+1),(s+2),(s+7)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais
2s^2+32,(s^2+1),(s+2),(s+7) =As+2+Bs+7+Cs+Ds^2+1
Cálculo de A e B em s=-2 e s=-7 e comparação de coeficientes para C,D
A=1150, B=-101500, C=-9500, D=13500

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo, lembrando que
L^-1tfrac1s+a=e^-a t e
L^-1tfracss^2+1=cos t,
L^-1tfrac1s^2+1=sin t, obtemos
q(t) =1150e^-2t -101500e^-7t -9500cos t +13500sin t

Resposta

boxedq(t)=1150e^-2t-101500e^-7t -9500cos t+13500sin t

Exercícios relacionados