Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
$f(x)=x^{2}-2 x;
$f(x)=x^{2}-2 x;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
- Determinar o domínio.
- Esboçar o gráfico.
Aqui o conteúdo é estudo de funções polinomiais de grau 2 (parábolas) e vamos precisar lembrar que todo polinômio de grau 2 tem domínio, abre para cima se o coeficiente de for positivo, e pode ser escrito em forma de vértice completando quadrado.
Passo 2
Como
é um polinômio, ela está definida para todo
.
Logo,
Logo,
Passo 3
Para achar o vértice, completamos o quadrado em
Escrevendo em forma canônica:
Dessa forma vemos que o vértice é o ponto
e a reta de simetria é
.
Passo 4
Agora encontramos os pontos de interseção com os eixos:
-
Zeros (interseção com o eixo
):
Resolverdá , logo ou . Pontos e . -
Interseção com o eixo
:
Basta, logo . Já capturamos o ponto .
Podemos também avaliar um ponto a mais para ter ideia de largura, por exemplo
já usamos; para
dando o ponto
. Simetricamente em
teremos
.
Passo 5
Como o coeficiente de
é positivo, a parábola abre para cima. No esboço, marcamos:
- Vértice em
como ponto mínimo. - Interseções em
e . - Pontos auxiliares
e . - Eixo de simetria vertical
.
Unindo tudo, obtemos a forma característica de uma parábola que desce até o vértice e depois sobe indefinidamente.
Resposta
Domínio:
.
Gráfico: parábola com vértice em , raízes em
e
, abre para cima, eixo de simetria
.
Gráfico: parábola com vértice em