Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
$f(x)=x^{2}-2 x;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
f(x)=x^2-2x:
  1. Determinar o domínio.
  2. Esboçar o gráfico.
    Aqui o conteúdo é estudo de funções polinomiais de grau 2 (parábolas) e vamos precisar lembrar que todo polinômio de grau 2 tem domínio R, abre para cima se o coeficiente de x^2 for positivo, e pode ser escrito em forma de vértice completando quadrado.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela está definida para todo xinR.
Logo,
Domínio(f)=R í

Passo 3

Para achar o vértice, completamos o quadrado em
f(x)=x^2-2x
Escrevendo em forma canônica:
f(x)=x^2-2x+1-1=(x-1)^2-1
Dessa forma vemos que o vértice é o ponto (1,-1) e a reta de simetria é x=1.

Passo 4

Agora encontramos os pontos de interseção com os eixos:
  1. Zeros (interseção com o eixo x):
    Resolver x^2-2x=0 x(x-2)=0, logo x=0 ou x=2. Pontos (0,0) e (2,0).
  2. Interseção com o eixo y:
    Basta x=0, logo f(0)=0. Já capturamos o ponto (0,0).
Podemos também avaliar um ponto a mais para ter ideia de largura, por exemplo x=2 já usamos; para x=3
f(3)=3^2-2cdot3=9-6=3,
dando o ponto (3,3). Simetricamente em x=-1 teremos (-1,3).

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima. No esboço, marcamos:
  • Vértice em (1,-1) como ponto mínimo.
  • Interseções em (0,0) e (2,0).
  • Pontos auxiliares (-1,3) e (3,3).
  • Eixo de simetria vertical x=1.
Unindo tudo, obtemos a forma característica de uma parábola que desce até o vértice e depois sobe indefinidamente.

Resposta

Domínio: R.
Gráfico: parábola com vértice em (1,-1), raízes em (0,0) e (2,0), abre para cima, eixo de simetria x=1.

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