Use as transformções(translações e reflexões) para esboçar o gráfico das funções abaixo:
$f(x)=5 \operatorname{sen}(\pi x);

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de
f(x)=5sen(pi x)
usando transformações (translações, reflexões e escalas) a partir do gráfico padrão de sen x. Vamos precisar entender como o fator pi dentro da função afeta a escala horizontal (período) e como o coeficiente 5 afeta a escala vertical (amplitude).

Passo 2

Começamos pelo gráfico de referência
y=sen x,
que tem período 2pi e amplitude 1, com zeros em x=kpi, máximos +1 em x=tfracpi2+2kpi e mínimos -1 em x=tfrac3pi2+2kpi.

Passo 3

Aplicamos a escala horizontal dada pelo argumento pi x. Em geral, sen(bx) tem período
T = 2pi|b|
Aqui b=pi, então
T = 2pipi=2
Isto significa que comprimimos horizontalmente de período 2pi para período 2. Os zeros agora ocorrem em
x = kcdotT2 = kcdot1 = k,
os máximos em
x = T4+kT = 12 + 2k = tfrac12,,tfrac52,dots
e os mínimos em
x = 3T4+kT = 32 + 2k = tfrac32,,tfrac72,dots

Passo 4

Agora aplicamos a escala vertical pela multiplicação por 5. Isto amplia a amplitude de 1 para 5. Logo:
  • Os zeros continuam em x=k.
  • Os máximos sobem para y=+5 em x=tfrac12+2k.
  • Os mínimos descem para y=-5 em x=tfrac32+2k.

Passo 5

Combinando as informações, escolhemos alguns pontos-chave no intervalo [0,2]:
x=0&implies f(0)=5sen(0)=0, x=tfrac12&implies fl(tfrac12r)=5senl(picdottfrac12r)=5senl(tfracpi2r)=5, x=1&implies f(1)=5sen(pi)=0, x=tfrac32&implies fl(tfrac32r)=5senl(tfrac3pi2r)=-5, x=2&implies f(2)=5sen(2pi)=0
Traçando uma curva suave que passa por esses pontos, obtemos um ciclo completo de comprimento 2. Depois é só repetir o mesmo padrão para todos os x.

Resposta

O gráfico de f(x)=5sen(pi x) é uma senoide de amplitude 5 e período 2, com zeros em x=k, máximos +5 em x=tfrac12+2k e mínimos -5 em x=tfrac32+2k, para kinZ.

Exercícios relacionados