Encontre as series de potências das seguintes funções e determine o intervalo de convergência
1x+9

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de f(x)=1x+9 centrada em zero, usando a ideia de série geométrica. Vamos reescrever f(x) num formato 11 - r para aplicar diretamente sumn=0^infty r^n.

Passo 2

Note que
1x+9 = 19,11 + x9 = 19,11 - l(-tfracx9r)
Aqui identificamos r = -tfracx9.

Passo 3

Pela fórmula da série geométrica, para |r|<1 temos
11-r = sumn=0^infty r^n
Logo,
1x+9 = 19sumn=0^infty l(-tfracx9r)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n9^,n+1

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica é lvert rrvert<1, isto é,
l|-tfracx9r|<1 Long<=ftrightarrow |x|<9

Resposta

1x+9 = sumn=0^infty (-1)^n x^n9^,n+1 com intervalo de convergência |x|<9 ê

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