Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
$f(x)=|\ln (x)|;

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
f(x)=l|ln(x)r|
O conteúdo principal aqui é o argumento do logaritmo natural e o valor absoluto. Para resolver, vamos ( 1) determinar onde ln(x) existe e ( 2) usar a definição de módulo para escrever a função em forma piecewise, depois analisar o comportamento de cada ramo para esboçar o gráfico.

Passo 2

Para que ln(x) esteja definido, precisamos de
x>0
O valor absoluto não impõe restrição adicional, pois ln(x) já só existe para x>0.
Logo, o domínio de f é
l(0,inftyr)

Passo 3

Agora vamos usar a definição de valor absoluto:
|u| = u, & u>=0, -u, & u<0
No nosso caso u=ln(x). Temos
ln(x)>=0iff x>=1, ln(x)<0iff 0<x<1
Portanto
f(x)=l|ln(x)r|= -ln(x), & 0<x<1, ln(x), & x>=1

Passo 4

Para esboçar o gráfico, analisamos cada ramo:
1. Ramo para 0<x<1:
;f(x)=-ln(x).
  • Quando xto0^+, ln(x)to-infty então -ln(x)to+infty.
  • Em x=1, -ln(1)=0.
    Esse ramo é uma curva decrescente que desce de +infty (em xto0^+) até 0 em x=1.
2. Ramo para x>=1:
;f(x)=ln(x).
  • Em x=1, ln(1)=0.
  • Quando xto+infty, ln(x)to+infty.
    Esse ramo é uma curva crescente que parte de 0 em x=1 e cresce sem limite.
Em x=1 a função é contínua e igual a zero, mas muda de expressão, formando um “V” suave.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • No eixo horizontal o domínio é .
  • Em a função atinge o mínimo .
  • Para , a curva cai de (quando ) até .
  • Para , a curva sobe de até .

Resposta

Domínio: (0,infty).
Gráfico: curva decrescente de +infty a 0 em (0,1) (ramo -ln(x)) e crescente de 0 a +infty em (1,infty) (ramo ln(x)), com mínimo em (1,0).

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