Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
$h(x)=\frac{1}{x^{2}};

Passo 1

O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função h(x)=1x^2. Para isso vamos usar conceitos de domínio de funções racionais, assíntotas, simetria e monotonicidade.

Passo 2

Para achar o domínio, note que o denominador não pode ser zero. Como
x^2neq0Longrightarrow xneq0,
fica
Dom(h)=(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Agora as assíntotas. Quando xto0^pm, temos
h(x)=1x^2to+infty,
logo existe assíntota vertical em x=0. Quando xtopminfty,
limxtopminfty1x^2=0,
logo existe assíntota horizontal em y=0.

Passo 4

O sinal de h(x) é sempre positivo, pois x^2>0 em todo o domínio. Além disso
h(-x)=1(-x)^2=1x^2=h(x),
ou seja, h é função par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y. A derivada
h'(x)=-2x^3
é positiva em (-infty,0) (função crescente nessa parte) e negativa em (0,infty) (função decrescente nessa parte). Pontos de referência:
,h(1)=1, ,h(2)=tfrac14, ,h(0,5)=4.

Passo 5

Com tudo isso, o esboço do gráfico tem duas “ramificações” hiperbólicas, uma em cada lado do eixo y, que:
– Disparam a +infty quando xto0^pm (assíntota vertical x=0).
– Aproximam-se de zero quando xtopminfty (assíntota horizontal y=0).
– Nunca tocam os eixos.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty).
Gráfico: duas curvas hiperbólicas simétricas em relação ao eixo y, com assíntotas em x=0 e y=0, conforme descrito.

Exercícios relacionados