Dê o domínio e esboce o gráfico das seguintes funções:
$h(x)=\frac{1}{x^{2}};
$h(x)=\frac{1}{x^{2}};
Passo 1
O enunciado pede o domínio e o esboço do gráfico da função
. Para isso vamos usar conceitos de domínio de funções racionais, assíntotas, simetria e monotonicidade.
Passo 2
Para achar o domínio, note que o denominador não pode ser zero. Como
fica
Passo 3
Agora as assíntotas. Quando
, temos
logo existe assíntota vertical em
. Quando
,
logo existe assíntota horizontal em
.
Passo 4
O sinal de
é sempre positivo, pois
em todo o domínio. Além disso
ou seja,
é função par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo
. A derivada
é positiva em
(função crescente nessa parte) e negativa em
(função decrescente nessa parte). Pontos de referência:
,
,
.
Passo 5
Com tudo isso, o esboço do gráfico tem duas “ramificações” hiperbólicas, uma em cada lado do eixo
, que:
– Disparam a quando
(assíntota vertical
).
– Aproximam-se de zero quando (assíntota horizontal
).
– Nunca tocam os eixos.
– Disparam a
– Aproximam-se de zero quando
– Nunca tocam os eixos.
Resposta
Domínio:
.
Gráfico: duas curvas hiperbólicas simétricas em relação ao eixo , com assíntotas em
e
, conforme descrito.
Gráfico: duas curvas hiperbólicas simétricas em relação ao eixo